Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

функцией t для А, отделенных от нуля, такие что справедлива
формула (5).

Замечание. Процесс g (t), tQR+ называется однородным
процессом с независимыми приращениями, если g (0) = 0 и распре»
деление g(t-\-A) — l(t) для всех А>0 не зависит от t. Для
однородного процесса функции a(t), b(t) и ïl(t, А), входящие

в формулу (5), пропорциональны /. Поэтому существуют такие
а, Ь>0 и мера II(их), для которой \ 1 + х2-П(их)< со, что ха-
рактеристическая функция процесса \ (Ь) представима в виде

Же

'П(0=ехр{/[щ2-|22 + 5(е'"-1-/2Х/{|Л|<1})П(^)]} (6)

§ 5. Продакт-меры

5.1. Определение. Пусть (Хп, Я„), х=\,2, .... — последова-
тельность измеримых пространств, ц„— вероятностная мера на Я„.

со

Продакт-мерой |л= X рп называется произведение этих мер,

17=1

со

определенное на произведении пространств XI Хп с с-алгеброй

п=1

СО

® 33п. Последняя с-алгебра есть наименьшая с-алгебра, содержа-

и=1

щая цилиндрические множества вида С = {(хь х2, . . .):х\(*Аи ...
. . ., хк£Ак}, где А&Я^ При этом

ц(С)=щ(А1) ... ця(Ля). (1)

Существование продакт-меры, т. е. меры, удовлетворяющей
(1) для всех к и А^Яг для одинаковых (Хп,Яп), вытекает из
теоремы Колмогорова, которая с несложными изменениями пе-
реносится на этот случай. Заметим, что рассмотрение продакт-
меры эквивалентно рассмотрению последовательности незави-
симых случайных элементов |п(и), Еп(со) принимает значение
в измеримом пространстве (Хп, Яп)- Интерес представляет
случай вероятностной меры в некотором измеримом простран-
стве (У, Ф), для которой существует такое измеримое отобра-

со со

жение (У$?) в ( п Хп, ф Яп), при котором эта мера пере-

И=1 17 = 1

ходит в продакт-меру.

а) Гауссовы меры. Рассмотрим гауссову меру в се-
парабельном гильбертовом пространстве (Я, Ян), т. е. меру ц,
определяющую характеристическим функционалом ф(г) =
= ехр{г'(а, г)'—^ (Вг,г)}, где абЯ, В — ядерный оператор из Я

в Я. Пусть аябЯ — некоторая последовательность, рассмотрим
отображение Я в 7?°°, определяемое соотношением х-*-((х,а,\),
(х,а2), ...). Совместное распределение величин (х,а{), ...

(х,ап), где х — случайная величина с распределением ц,
задается их совместной характеристической функцией

j exp |i 2 5ft (л:, p(cf jc) =

i^sk{a, ak) — j 2 skst(Bak, a,)\, sk£R.

Из этой формулы вытекает, что величины (х, а{), (х, а2),...
независимы, если В (ак, щ)=0 при кФ1. Выбрать а^, так чтобы
это выполнялось, можно, взяв, например, в качестве ак собст-
венные векторы оператора В. Этот выбор неоднозначен: любую
последовательность можно ортогонализовать, пользуясь мето-
дом Грамма, (Вх, у) можно рассматривать как скалярное про-
изведение. При таком выборе ак указанное отображение (оно
линейно) переводит р в продакт-меру на R°°, которая предста-

сю

вима в виде X цп, где р„ — гауссова мера на R со средним

(ап,ап) и дисперсией (Ва„,ап).

5.2. Абсолютная непрерывность и сингулярность мер. Пусть
на измеримом пространстве (Х,&) заданы две меры р и v
(нас будет интересовать лишь случай конечных мер). Мера v
называется абсолютно непрерывной относительно меры р, если
v(A)=0 для всех АО%, для которых р(Л)=0. Мера v сингуляр-
на относительно р (тогда и р сингулярна относительно v), если
существует такое множество что p(S)=0 и v{X\S)—Q.

В теории меры известна следующая

Теорема Радона — Никодима. Если v абсолютно
непрерывна относительно р, то существует ^-измеримая инте-
грируемая по р функция f(x) такая, что для А£<М

v{A) = ^ f(x)\i(dx); (1)

а

представление (1) достаточно, чтобы v было абсолютно непрерыв-
но относительно р.

Функция / называется плотностью меры v относительно р

или производной v по р, она обозначается также ~ (х). Если
/ > 0 почти всюду по мере р, то р также абсолютно непрерывна
относительно v и = В этом случае меры v и р называют-
ся эквивалентными. Соотношение (1) эквивалентно следующе-
му: какова бы ни была ограниченная измеримая функция
§(х),

jg(x)v(dx)= i g(x)f(x)ll(dx). (2)

Мы будем использовать обозначения: v<Sp, если v абсолютно
непрерывно относительно р и v-Lp, если меры взаимно сингу-
лярны (тогда они называются также ортогональными).

Если (х и V — произвольные конечные меры на Я, то всегда
имеет место представление

у(А) = ] /(х).(с1х) + ч(Ап8), (3)

а

где / — некоторая интегрируемая го мере и, функция, р,(5) = 0.
При этом / (х) также называется производной меры V по мере и.

и обозначается 0. Представление (2) дает разложение меры V

на абсолютно непрерывную и сингулярную относительно ц со-
ставляющие (это разложение Жордана).