Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
ция K(t) =—In po{t) определена для всех t, неотрицательна и
непрерывна и не убывает, так как po(t) не возрастает. При
таком выборе k(t) формула (1) справедлива для т=0. Заме-
тим, что
Р {I (t) — l (s) > 0}= 1 -e-WO-M*))^
= K(t)-X(s) + 0((K(t)-K(s)n t>s.
Если tnk = ~t, то P{sup(g(^) — U^*-i))< 1}-^ 1 и, значит,
П
П (l -p ig (f „,) - i (*„*_,) > i})-> l.
Из последнего соотношения вытекает, что
га
Hm 2 Р -i('«*-i)>l} = 0. (2)
Теперь имеем для т > 0
га
р {g (0=да}=Пт 2 Р {S = да -1} Р {Е -1 ünk-i) = 1}+
+ О I 2 Р {I (*„*) -1 (*„*_i) > 1} = Hm 2 Р {S - да - 1} X
\k=\ j п^°°ъ=\
X P {g (Wi) -1 (Uk) > 1}=lim ( 2 P {E Vnk-i) = да -1}) X
X [l (tnk+l) - К (tnk)\ + о ^2 (Ь (W - =
= $PU (0 = да-1}^(0-
0
Отсюда формула (1) получается по индукции.
б) Броуновское движение (винеровский про-
цесс). Рассмотрим теперь непрерывный процесс с независимыми
приращениями \0(t). Для него используют оба названия. Исполь-
зуя то, что для всякого е>0 P{sup]g0(*„ft) —10 (tak_x) |<&}-^1,
k
убеждаемся, что
п
lim 2 Р {| S0 ('»*> - S0 1>е} = 0 (3)
(вывод (3) аналогичен выводу (2)). Пусть sra->0 выбраны так, что
(3) выполнено, если вместо е подставить е„. Тогда, полагая
Л я* = [So (*nft) — So /{|5.(^Ä)-|„(<„fr.1)l<e„}'
будем иметь
4=1 ; *=1
и, значит,
= Итехр иг_2 Мт1л* П (1— ^-0т1«* I1 +0(8Л))-
4=1 ) 4=1
= Ит ехр 1г 2 Мл„4 — ^ 2 0т1«* О + 0 (е») + 0 (тах 0гЬ*))
I 4=1 4=1
Из существования предела вытекает, что он имеет вид
ехр|гга(0—(*)]■, т. е. имеет для всех I>0 нормальное
распределение со средним а(£) и дисперсией Так как
|о(0— Ео(в) также имеет нормальное распределение со
средним а(в) и дисперсией ^>в, то &(£) не
убывает и из стохастической непрерывности |о(0 вытекает
непрерывность а (г) и 6(0-
Стандартным винеровским процессом (или просто вине-
ровским) называется процесс тм^), для которого а(/)=0,
й (/)=/. Процесс ю(Т)—это непрерывный процесс с независи-
мыми приращениями, для которого да(0)=0, а приращение
ш(/+й) — да(/) при /^0, Л>0 имеет нормальное распределе-
ние со средним 0 и дисперсией к.
в) Скачкообразная составляющая. Пусть А—
некоторое борелевское множество в Я, лежащее на положи-
тельном расстоянии от точки 0. Обозначим через \(А, /) сум-
му скачков процесса, которые произошли до момента I вклю-
чительно и значения которых попадают во множество А. Че-
рез \(А, I) обозначим число этих скачков. Тогда оба процесса
как функции I являются стохастически непрерывными процес-
сами с независимыми приращениями. Процесс х(А, /)—пуас-
соновский, обозначим П^, А) =^(А, ^. П(/, А)—непрерыв-
ная неубывающая функция Ь и мера по А. При попарно непе-
ресекающихся Аи А2,...,Ап процессы *),..., £(Л„,
независимы (это доказывается точно так, как лемма 2 и след-
ствие из нее). Значит, независимы и у(Ах, ^),...,у{Ап, /).
Пусть А — конечный отрезок, не содержащий точки 0,
п
А=иАИй, где АПк попарно не пересекаются и тах сНат Двд^-0
4=1 4
при п-*-оо, хп)1&Апк. Тогда
I (А, *)=11т2 хп^(Апк, *),
п
Ме'г6(Л',) = lim П exp {(*'"»*-1) П (t, Ank)} =
= expjj(e'«—1)П(*. dje)J. (4)
(Мы воспользовались тем, что для пуасоновского распределе-
ния с параметром а характеристическая функция задается вы-
ражением exp{a(eIZ—1)}.) Дифференцируя (4) и полагая z=0,
находим
Mg(A, t) = ^xn(t, dx), Dg (А, /)==^П(^ й?х).
д д
Поэтому
M [1е„(0-Кя_1(0]= S *П
D[iera(0 —Se„_1(0]= J л2П(^, dx).
г) Общий вид характеристической функции. Из
равномерной ограниченности D [g (0— Ее„ (01 вытекает, что
§ х2П(^, dx)<_oo для всех 6i>0. Пусть ej = 1. Тогда из
0<|jr|<Ei
леммы 3 и ее следствия получаем следующую формулу для
характеристической функции g (t):
Ме1г1(п = ехр \iza(t)~ l^ z2b(t)} + J (е'«-1)П(*, +
ui>1
+ j (<?<'-* — 1 — izx) II ( *, rfje) . (5)
Это и есть формула Леей. Из нее делением получается харак-
теристическая функция для приращения процесса. Таким об-
разом доказана
Теорема. Пусть g (t) —стохастически непрерывный процесс
с независимыми приращениями, g(0) = 0. Существуют 1) непре-
рывная функция a(t), 2) непрерывная неубывающая функция
b(t), 3) функция П(^, А), являющаяся о-конечной мерой по А,
для -которой \ . 2 П (t, dx) < оо, и непрерывной неубывающей