Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Скороход A.B. -> "Вероятность: основные понятия, структура, методы." -> 39

Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Скороход A.B. Вероятность: основные понятия, структура, методы. — , 1989. — 279 c.
Скачать (прямая ссылка): skorohod.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 110 >> Следующая

6 = 1

где £„*=(£(*„*)—ё (^я*-1) /{|Б('„*)-1('яА_ж):>е} а> ¥е (^) =иИг5 2 Т1«*»

где Л„А = | —Е (*„*-!) —Е„А. ПОЭТОМУ

•6=1

6-1

:2|Ме'и

^б+'^яб.

6=1

6=1

п

<2|Мегм^-1|-|М^-1

6=1

(так как |„,т,„, = 0, то ^+'^^^4^-1). Послед-
нюю сумму можно оценить величиной

п

suplMe^-l I 2lMeiulra*-l |<2sup|Mexp{to(g (tnk) -

ft ft=1 ft

n

- g (/„*_,)} -112 p {i s (u- e i > e}.

Для суммы можно получить с помощью леммы 1 равномерную
по п оценку, а множитель перед суммой стремится к нулю в
силу равномерной стохастической непрерывности £,(t). □

Следствие. Пусть 0<ея<8„_, < ... <е,. Тогда процессы

tea (t), Еея (t) — Ee„_, (t), ■ • ., g8, (0 — Se, (0. Ее, (О ЯВЛЯЮТСЯ НеЗаВИ-

симыми процессами с независимыми приращениями. Действительно,
len(t) не зависит от Ее„ (0, а значит, и от процессов |е„(0 —

— 5еп_, (0. ■ • •. Eet (Oi которые через него выражаются, поскольку
ЕеА(0—Eeft (0 есть сумма скачков процесса %,(t), которые прои-
зошли до момента t включительно и модуль которых попадает в
]еъ ък_Л. Используя то, что если \(t) = l4(t), то lBk_i(t) =
= |8а(^) — |Eft_i(^), убеждаемся, что при всех k процессы lSk(t) —

— (0, Eeft_, (0 — |Eft_2 (0, • • •, le, (0 также независимы. _
Лемма 3. Для е>0 существуют M[le (t) — le (0)], D(lB(t) —

— Ее(0)) и можно выбрать так последовательность е„|0, чтобы
для всех t процессы 1Еп (t) —18„(0) —м(|ея(/)-|"8л(0)) с вероят-
ностью 1 сходились равномерно к некоторому процессу |0(0) этот
процесс является непрерывным процессом с независимыми прира-
щениями, он не зависит от Ее(0 ПРИ всех е>0.

Доказательство. Будем считать, что Е(0)=0. Пусть
у\пк~величины, введенные в доказательстве леммы 1. Используя
метод симметризации и утверждение б) из теоремы Колмогорова,
убеждаемся, что существуют DEe(0 и MlE(t). Так как при
62<£i Ее, (0=¥еЛ0 — (Ее2 (t) — Нв1 (0) и слагаемые в правой части
независимы, то Df,, (0 = D|"e, (*) + D (ЕЕ2 (*)-&*,(*))• Значит, D£e(0
убывает вместе с е. Выберем так последовательность е„, чтобы

2"4[Dlera(")-DK„+1(rt)]<~

(это возможно, так как для всех t D|E(0 — Ще' (0-^0 при е,
8'->0). Тогда на основании неравенства Колмогорова

Р {sup | Гега+1 (t) - Mf Era+i (0 + Щ.я (t) -bn(t)\>^]<

< n«D (l8j|+i (0 - Ё"е„ (0) = «4 (Dfe„ (Я) - DIгп+1 («))

неравенстю Колмогорова сначала применяется для значений

t = -gm-, k < п2т, а затем производится предельный переход по

т-> со; поскольку Ее(t) непрерывные справа процессы, то sup по
двоичнорациональным t совпадает с sup по всем t). Воспользуемся
теперь теоремой Бореля — Кантелли: начиная с некоторого номе-
ра п, sup [ ¥ея+1 (0 — м|е„+1 + м|ея(0 — Se„(0|<-^r и, значит, схо-
дится равномерно ряд ^(&гп+1(*) — ЩЕп+1У)-\-Ж1епУ)—1епУ)).

п

Отсюда вытекает равномерная сходимость последовательности
Ее„(0—"Щ,гп(?) на каждом конечном интервале. Следовательно,
предельный процесс Е0(/) не имеет скачков больших е„, каково
бы ни было п. Итак, процесс E0(tf) непрерывен. Он имеет незави-
симые приращения, как предел таких процессов) а так как
не зависит от Ее (t) при е„ < е, то и предел Е0 (£) не будет зависеть
от Ее (*). □

Следствие. С вероятностью 1 существует lim [Ег (£) +

«-►со

-f-M (Ее, (t) — Еега (0)] равномерно на каждом конечном интервале.
Если_ этот предел обозначить \'(t), то Е (0 = Ео (0 + Е'(0 +
4-МЕеДО- Процесс \'(t) называется разрывной частью процесса
Е(0-

Поскольку Ео (0 есть предел величин с нулевым математическим
ожиданием и ограниченной дисперсией, то МЕ0(<)==0. Из стохас-
тической непрерывности Ее, (0 и ограниченности М | Ее, (t) |2 выте-
кает непрерывность М|е,(0-

Мы получили разложение на сумму непрерывного процесса
с нулевым математическим ожиданием, разрывной части и
неслучайной непрерывной функции.

4.3. Формула Леви. Найдем выражение для характеристиче-
ской функции стохастически непрерывного процесса с незави-
симыми приращениями. Будем предполагать, что ^ (0) =0.

а) Пуассоновский процесс. Пусть процесс |(/)
имеет на каждом конечном интервале конечное число скачков,
постоянен между скачками и величина скачка равна 1. Тогда
Е(0 принимает лишь целые неотрицательные значения. Ока-
зывается Е(0 имеет обязательно пуассоновское распределение:
существует непрерывная неубывающая функция X(t), к(0)=0,
такая что'

V{\(t)~m} = ££f-e-w\ (1)

Докажем это. Из стохастической непрерывности вытекает, что
функция po(t) =Р{Е(0 =0} непрерывна. Так как p0{s-\-t) =
=Po(s)XP{E(s+0—E(s)=0} и вероятность справа отлична от
нуля при достаточно малых t, то множество {t:p0(t)=0} и
открыто и замкнуто, а так как р0(0) = 1, то оно пусто. Функ-

Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed