Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Пусть (й, S2", Р)—некоторое вероятностное пространство,
в — параметрическое множество, (X, Я) — измеримое прост-
ранство. Рассмотрим случайную функцию x(Q, со), определен-
ную на в, со значениями в (Х,Я). Если х*(9, со) —некоторая
другая такая функция, такая что

Р{х*(0, cü)=*(0, ш)}=1, 8G0,

то л:*(9, со) и х(0, со) называются стохастически эквивалентны-
ми, еще говорят, что х*(9, со) и x(Q, со) являются модификация-
ми друг для друга (или модификациями одного и того же про-

цесса). Вторая точка зрения связана с тем, что под случайной
величиной понимают класс функций (%(со)} такой, что для
двух любых представителей из этого класса |i(co) и ^2 (со) вы-
полнено соотношение P{|i (со) =£2(со)} = 1. Заметим, что моди-
фикации, рассматриваемые как функции 9, могут существенно
отличаться.

Пример. Пусть ® = R, т — случайная величина в R с аб-
солютно непрерывным распределением, А — борелевское мно-
жество в R лебеговой меры 0. Положим ii(t)=IA{t—т),
|2(0=0. Тогда Р{|,(0=0}=1 и, значит, |,(/) и g2(f) стоха-
стически эквивалентны. |г(0—непрерывный процесс,
Р{supg2(/) =0}= 1, li(t) имеет точками разрыва А' — границу
f

А и может быть A' = R, Pjsupg" (t) = 1}= 1, если только А непу-

i

сто.

Очевидно, второй процесс более естественная модификация
(например, она непрерывна). Возникает вопрос, существует ли
для данной случайной функции модификация, обладающая за-
ранее заданными регулярными свойствами (непрерывная, мо-
нотонная, без разрывов второго рода, дифференцируемая и
т. п.)? Ответ на этот вопрос естественно давать в терминах
конечномерных распределений процесса. Уточним постановку
задачи. Пусть Xе — пространство всех функций из 0 в X,
^(Х, 0)—цилиндрическая о-алгебра подмножеств этого мно-
жества, Frc^Xe — некоторое подмножество функций, которые
мы считаем регулярными. Задано согласованное семейство ко-
нечномерных распределений и по ним на %{Х, в) построена
вероятностная мера р (как в доказательстве теоремы Колмого-
рова, гл. 2, § 4, п. 2). Если Fr&& (А", в), то можно говорить о
вероятности того, что случайная функция является регулярной,
это р\Fr). Однако для интересных свойств регулярности (на-
пример, непрерывности, отсутствии разрывов второго рода, ог-
раниченности и др.) соответствующее множество Fr не попада-
ет в %?(Х, 0). Это объясняется тем, что в ^{Х, в) входят те
множества, для которых принадлежность функции этому мно-
жеству определяется по значениям функции на счетном под-
множестве в (например, по значениям на счетном множестве
нельзя установить непрерывна ли функция). Нас интересует,
когда существует модификация случайной функции х*(8, со),
такая что для всех со х* (•, со) BFr? Такую модификацию будем
называть ^-модификацией. Ответ на этот вопрос должен ис-
пользовать лишь меру р и множество Fr.

Обозначим через р* внешнюю меру, построенную по мере
р: для всех Fc^Xe полагаем

|Х* (П= inf 2^(с*)-

где Си — цилиндрические множества из ^(Х,©).

Теорема 1. Для того чтобы существовала /^-модифика-
ция с конечномерными распределениями, порождающими меру
ц, необходимо и достаточно, чтобы ц* (Р~) = 1.

Доказательство. Пусть существует такая модифика-
ция х* (9, со). Тогда

Р(х*(9, со)£С) = 1

для всякого С^сё'(Х, в), для которого Сгэ/7г. Отсюда \1* (Рг) =
= 1. Пусть теперь выполнено это условие. Определим о-алгебру
<8Г подмножеств Рг вида Р = С(]РГ, где С£<&{Х,в). Если С^П

= то (С1\С2иС2\С1)П^г=0 и поэтому ,(С1\С2[}

\JC2\C1) = 0 (из условия р,*(/7г) = 1 вытекает, что р,(С)=0 для
всех С, для которых С[)Рг¥=0). Поэтому 11(61) = ^(£2). Следо-
вательно, можем ввести меру_на (ё'г: ц, (/7) = ц.(С), если /7 =
= СЛ/7г. Рассматривая (Рг, Сг, ц,) как вероятностное простран-
ство и полагая х*(в, со) = со (в), со (в) е/7г, получаем /^-модифика-
цию на специальном вероятностном пространстве.

1.1. Сепарабельные случайные функции. Некоторый метод
выделения регулярных модификаций был предложен Дубом.
Пусть в — сепарабельное топологическое пространство, Лег©
счетно и всюду плотно, X — топологическое пространство.
Функция х(9) из 0 в X называется Л-сепарабельной, если ка-
ковы бы ни были открытое множество и сив и замкнутое мно-
жество /^сгХ, х(В)(:Р для 96(7, если х(9)б/7 при 9бс7ПЛ.

Случайная функция х(9, со) с фазовым пространством X,
определенная на вероятностном пространстве {й, 2Г, Р}, назы-
вается А-сепарабельной, если существует такое Р(5)=0,
что для всех открытых множеств сУс0 и замкнутых /"с!

П (со:л(9, со)6/г}\ П (ю:л:(9, со)б/^}с5. (1)

В этом случае при со?Й\5 функция х(-,со) будет Л-сепара-
бельной.

Если X—сепарабельное полное метрическое пространство
с метрикой г(-, •) и х(9) —Л-сепарабельная функция, то