Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Следствие. Если x(0,to) интегрируема по Риману в
среднем квадратическом, то функции а(0) и /?(вь в2) почти
всюду непрерывны по мере m(dQ) и m(dQx)m(dQ2) соответ-
ственно.

Теорема 3. Пусть х(0, со)—измеримая функция, интегри-
руемая по Риману в среднем квадратическом. Тогда интеграл
Римана ( х(8, co)m(dQ) совпадает с обычным.

Доказательство. Из интегрируемости по Риману
функций а(0) и 7?(0ь 62) вытекает их ограниченность и, зна-
чит, MJ |х(0, со)\m(dQ) = /М|х(0, со)\m(dQ) (здесь интеграл
Лебега, мы пользуемся теоремой Фубини). Поэтому
/х(0, co)m(ufG) существует с вероятностью 1. Используя ин-
тегрируемость по Риману и совпадение для интегрируемых
по Риману (неслучайных) функций интегралов Римана и Ле-
бега, можем убедиться, что

limMS2 =(^a(9)/rc(rfe))2+W#(eii вг) т (fifoi) т (dQ2),

lim MS„ ^х(0, со) tri (fi?0) = lim

5 а (6) от (rfe) 2 a (9*)wi
ft=i

^a(Q)m(dQ)f +

+ $ 5 /? (в', 9") /га (de') от (rf9").

Поэтому

lim М (s„ — ^х(9, co)OT(rfe))2 = Hm MS* —

— 2lim М5,/г^л(е, ш)/ге(б?9) + М (\x(Q, a>)m(dQ)J = 0. □

2.3. Разложение случайной функции в ортогональный ряд.

Пусть (6,^)—таково, как в предыдущем пункте, и случай-
ная функция х(0,со) непрерывна в среднем квадратическом

HmM|jc(9, со) — лг(8„, со)|2 = 0 Ve0eö.

Тогда непрерывны среднее значение а(0) и корреляционная
функция 7?(61, 62). Поэтому х(0, со) ереднеквадратически ин-
тегрируема по Риману. Так как для любых ограниченных
непрерывных функций fi(x) и f2(x) функция M/i(*(0i, со))Х
ХЫ*(02, со)) непрерывна по 0j и 02, то она измерима по 02 для
всех Öi, Множество F тех функций, для которых имеет место
такая измеримость, замкнуто относительно ограниченной схо-
димости (последовательность gn ограничено сходится к g, если
sup|g„(x) I <оо и для всех х gn{x)^-g(x)). Поэтому F содер-

X ,п

жит все ограниченные борелевские функции, в частности ин-

дикаторы борелевских множеств. Значит, в силу теоремы 1
*(9, со) имеет измеримую модификацию. Будем считать, что
это сама функция х(в, со). Обозначим через Ь2(®,т) про-
странство числовых ^-измеримых функций £(9), для которых
/£2(9)т(сШ) <С°°. Это гильбертово пространство со скалярным
произведением ^\^2)'=}ё1(в)§2(в)т(а'в)- Так как

^Мл2(0, со)то(й?9) = М§л:2(9, со) т (йО)< со ,

то х(-, со)&Х2(в, т) почти для всех со. Если {^(9)} —некото-
рый ортонормированный базис в Ь2(€),т), то для всякой
функции /г(6)б12(в, т) справедливо представление

/г(9) = 2а*£И8), «* = $ А (в) г* (в)/71(^9). (5)

Поэтому

*(9, со) = 2Ыи)£*(9), 1к(а)'=[х(в, ь>)gk(Q)m(dQ). (6)

Ряды в (5) и (6) сходятся в Ь2(<д,т) (второй почти при
всех со). Так как в силу равенства Парсеваля

со

2 |2 (со) = 5 л2(9, со)/гс(<*в) и М ^ л2 (9, со)от (<*9)< со ,

4 = 1

то

^ М|2(со)< со

4=1

и 2 оо

11т х(9, со)-2 |*Иг*(9) от(<*е) = Нт 2 м^(и) = а

Таким образом, ряд (6) сходится в Ь2(0,т) в среднем квад-
р этическом.

Пусть а(9)=0. Интегральный оператор #£(9) =
= I д(8')т№в') вполне непрерывен, симметричен и

неотрицателен в 12(0,т). Пусть {ср;г} — полная ортогональная
система его собственных функций. Тогда

х(в, со) = 2 Ч4Ф4(9), Л* = 5 л: (в, со) ф* (в) от (<Й)
и величины % некоррелированы: при к =1=1

МтьП/=М$§л:(е, со) л: (в', со)фА (9)ф,(9') да (с/9) от (с/9') =

= $ 5 Я (в, 9') Ф* (9) ф, (90 т (с/9) т (сГе') =

= Я.*5 Ф*(в') Ф|(в') от (^90 = 0,

здесь ки — собственное значение оператора Я, отвечающее
функции щ. При этом Ки^О, 11Хк=^Я(д,д)т(йв). В частности,
если х(8, со)—гауссовская случайная функция, то {г)а} также
имеют совместное гауссовское распределение, поэтому г]к=
==УА*|ь, где \%к) — последовательность независимых гауссовских
случайных величин, М|ь = 0, 0%к=1.

Разложение винеровского процесса на [0,1].
Пусть и>(0, ^е[0, 1] — винеровский процесс, т. е. ш(0—гаус-
совский процесс с независимыми приращениями, для которого
Ми>(/)=0, Тогда Мау(/)ау(5)=/Л5-

Собственные функции оператора Я определяются из урав-
нения

0 6 {

откуда Ф(0) = 0, ф'(1) = 0, Яф"(0 + Ф(0 = °- Поэтому
= У"2 зт]/лМ, сое у"^Г=0, А,| =-|+Лп, и

со _

где |ь — независимые гауссовокие величины, М|й = 0,

§ 3. Согласованные процессы

Теория измеримости для случайных процессов может быть
существенно расширена, если использовать упорядоченность
параметрического пространства. Будем рассматривать слу-
чайные процессы, определенные на Свяжем с каждым
tGR+ некоторую о-алгебру событий 8Ги являющуюся подал-
геброй алгебры З2" вероятностного пространства {0,,&~, Р}. Эту
а-алгебру будем трактовать как о-алгебру событий, которые
могут наблюдаться до момента / включительно. Тогда ЗГ^с
<—З2"^ при /1<^2- Наложим некоторые дополнительные усло-
вия на совокупность {ЗГг}. Во-первых, будем предполагать,
что а-алгебра З2" полна относительно меры Р (т. е. если ЛеЗ2",
Р(Л)=0, то В£&~ для всех ЛсЛ) и а-алгебра 3*~0 содержит
все множества из З2" нулевой меры Р. Это условие — условие
полноты. Во-вторых, будем предполагать следующее условие
непрерывности справа: для всех t£R+