Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
k
берга выполнено автоматически, tnk = kln, t,nk=n~1^ 2 ?ь
£„0=0. Функционалы от последовательности сумм могут быть
представлены как функции от t,n(t). Так
max gft = }/nmax £„(*),
k<n t
m ax I £ft| = j/7ïmax| tn{t)\,
k<n t
n 1+- 1
2К»1"~л 2 j"|£B(*)I'd'-
ft=l 0
«Принцип инвариантности» утверждал, что предельные рас-
пределения такого рода функционалов при подходящей нор-
мировке не зависят от распределения слагаемых £а. После это-
го с помощью выбора распределения gft (обычно, |ь=.±1 с ве-
роятностью 1/2) определялось предельное распределение функ-
ционала. Оказалось, что это распределение совпадало с рас-
пределением такого же функционала от винеровского процес-
са. Примером теоремы этакого рода может быть следующая.
Теорема 5.
_х
lim Р {max lk < х Vn}= ]/^- [ e-u'i2du.
Л-*оо к<П ' "J
Правая часть совпадает с распределением sup w (t).
0<«1
в) Условия слабой компактности семейст-
ва вероятностных мер в C[0,i]. Воспользуемся тео-
ремой 4 § 1. Чтобы получить эффективные условия слабой
компактности, нужно уметь эффективно описывать достаточно
широкий класс компактов в C[0,i].
Пусть ô(t) определено при t^O, 6(0 >0 при ЬФВ и ô(tf)|0
при t\0. Обозначим через K(ô,c) множество функций x(t) из
C[o.i], удовлетворяющих условиям: |дг(01^с> \x(h)—*(^)|=^
^6(|/,-/2|) V/, U.
Лемма. Д'(б, с)—компакт в Cl0,i], для всякого компакта
К из С[0,1] можно указать такие б(-) и с, что Кс=К(8, с).
Первое утверждение вытекает из теоремы Арцела. Если
К — компакт, положим =sup{|*(/i)—л:(^2) |, |*i—/2|=£^,
x(-)GK}. Тогда в силу теоремы Дини б(0|0 при /|0. Если
c = sup{\x(t)\, «[0,1], *(•)**}. то К<=К(Ь,с). □
Из теоремы 4 § 1 и леммы вытекает
Теорема 6. Пусть {|п(0} — последовательность непре-
рывных числовых процессов, определенных на [0, 1]. Для того,
чтобы последовательность мер {vn} на C[0,i], отвечающих этим
процессам, была слабо компактна, достаточно, чтобы: а) £„(0)
были ограничены по вероятности; б) для всякого е>0
limlimP{ sup и„('1)-1»('2)|>в} = 0. (7)
Доказательство. Из (7) вытекает, что для всех р>0
limsupP{ sup |&B(*i)-6B(*2)|>p} = 0.
А-+0 п |<,-<i|<A
Выберем так последовательности hk-+0 и pft->0, чтобы
2sUPP{ SUp |gB(<,)-gB(<8)|>p*}<8/2.
k П I'l—<«l<Aft
Тогда если b(t)=pk при fik+i<t <ifik и 6 (г)—1 \hl P; ПрйОЛ),
то для всех n
P{ sup |gB(*,)-&B(*2)|<e(s), 0<s<l}>l-f.
ЕСЛИ ПрИ ЭТОМ P{| ln (0)| >£?]}< -|, то
P{sup|IB(OK^ + -^Pi,
SUP |&B(*l)-&B(*s)|<fl(s), 0<5<1}>1-£.
Значит, р„(/С(б, с))> 1 — е, если c = Ci + 1 \hy Pi- □
г) Доказательство теоремы Ю. В. Прохорова.
Проверим, что процессов t,n(t) выполнены условия теоремы 6.
Так как £в(0) = 0, то нужно проверить лишь б). Из доказатель-
ства теоремы 2 вытекает, что 6n=max(^Bft— ^Bft_i) = max ——^0.
Tstb как
I sup |£B(*i)-CB(*2)|< sup I £„(*„*)-£„(*„,) I,
то достаточно доказать, что
142
lim lim P{ sup |U^)-U^,)|>s} = 0-
A-.0 л-оо \tnk-tni\<h.
Пусть Inf {*„*:*„*>*}. Тогда | s„(*)-*|<6„ и
sup I In (tnk) - ln (tnJ) I < 2 sup л« (k, h),
где t|„(Ä, Ä) = sup{| in(tnj)-ln(Sn(kh))\:tnJe[Sn(kh), sn(kfi)+2h]}.
Значит, для доказательства слабой компактности р„ достаточно
доказать, что для всякого е>0
lim lim p{sup y\n(k, А)>е}=0,
h-+o л->-оо k<h-'
ИЛИ
lim Hm 2 Р{Л»(А. Ä)>e} = 0.
A->0 Лч-оо k<n-i
Так как p{|C„(U|>p}<-^m(Sn(<„ft)-SB(^))2<
< 1 *»*"-/"/!, то при 16Ä<e2 будет
P
p{| £„('»*)-£»('»;) l>-J}<^.
если только \tnk—tnj\<2h. Значит, на основании § 2 главы 3
Р {л„ [к, •*) > 8} <2Р {11п ((sn (kh)+2А)Л 1) - £„ (s„ (A A)) I > Ц.
ИсПОЛЬЗуЯ НезаВИСИМОСТЬ велИЧИН t,n(tnkX ln{tnk^ — £«(*nft,), . . .
. . ., t,n{tnk,) — Zn(tnk1 ПрИ tnkl<t„k2< . . . <tnk, И теорему
Линдберга, а также то, что
sup | In (t) - £л (sn (t)) I < max IM- 0
i ft bn
по вероятности, убеждаемся в справедливости следующего
утверждения.
Лемма, а) Распределение
En ((sn (kh) +2h) А1)-tn (sn (Щ)
сходится к распределению w( (k-\-2)h/\\)—w(kh);
