Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
13. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве.— М.:
Наука, 1975.— 192 с.
14. — Случайные процессы с независимыми приращениями.— М.: Наука,
1986.— 320 с.
15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.— т. 1, 2.
— М.: Мир, 1964, 1967.— 498 с, 752 с.
16. Халмош П. Лекции по эргодической теории.— М.: ИЛ, 1959.
17. Ширяев А. Н. Вероятность.— М.: Наука, 1980.— 576 с.
УДК 519.217
II. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В АНАЛИЗЕ
Л. В. Скороход
СОДЕРЖАН И Е
Глава 1. Марковские процессы.......... 148
§ 1. Определение и общие свойства......... 149
1.1. Определение марковского процесса....... 149
1.2. Вероятность перехода........... 15Ö
1.3. Регулярность............. 153
§ 2. Чисто разрывные процессы.......... 155
2.1. Определение............. 155
2.2. Уравнения Колмогорова.......... 157
§ 3. Диффузионные процессы.......... 162
3.1. Определение диффузионного процесса...... 163
3.2. Уравнения Колмогорова.......... 164
Глава 2. Вероятностное представление решений дифференциальных
уравнений с частными производными....... 166
§ 1. Задачи для параболического уравнения....... 167
1.1. Задача Коши............. 167
1.2. Формула Каца............. 169
1.3. Смешанная задача для обратного параболического уравне-
ния ................ 171
§ 2. Краевые задачи для эллиптических операторов .... 172
2.1. О моментах выхода из ограниченной области . . . . 173
2.2. Решение внутренней краевой задачи....... 174
§ 3. Винеровская мера и решение уравнений с оператором Лап-
ласа ................ 177
3.1. Винеровский процесс в Rd......... 177
3.2. Стохастический интеграл.......... 180
3.3. Представление решений уравнений....... 185
Историко-библиографический комментарий....... 187
Литература................ 187
В 1931 г. вышла работа А. Н. Колмогорова «Об аналити-
ческих методах в теории вероятностей». В этой работе был
введен класс случайных процессов, названных в дальнейшем
марковскими, и для изучения вероятностных характеристик
этих процессов (их переходных вероятностей) был предложен
метод дифференциальных уравнений. Для процессов с конеч-
ным или счетным фазовым пространством это были конечные
10*
147
или счетные системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений, для процессов с конечномерным фазовым пространст-
вом — дифференциальные уравнения с частными производны-
ми второго порядка параболического типа. Появился новый
мощный аналитический метод, позволяющий решать и задачи
теории случайных процессов и получать предельные теоремы
нового типа (например, задачи диффузии для случайных блуж-
даний, рассмотренные А. Н. Колмогоровым, И. Г. Петровским
и А. Я. Хинчиным). Хотя некоторые аналитические методы
(преобразование Фурье) использовались при доказательстве
предельных теорем, однако именно благодаря работам
А. Н. Колмогорова анализ стал повсеместно использоваться в
теории вероятностей. Более того, она (по крайней мере фор-
мально) могла уже считаться одним из разделов анализа.
Установленная А. Н. Колмогоровым связь между диффе-
ренциальными уравнениями и марковскими процессами сдела-
ла возможным «обратное» использование марковских процес-
сов в теории дифференциальных уравнений. Для осуществле-
ния такой возможности нужно было иметь независимые от
анализа методы изучения марковских процессов. Такая чисто
вероятностная методика была развита первоначально для ви-
неровского процесса. Построение винеровской меры позволило
использовать ее для решения многих задач анализа. Наиболее
существенным шагом здесь было полученное М. Кацем пред-
ставление решения задачи Коши для уравнения
дt 1
в виде интеграла по винеровской мере. Именно этот результат
показал, что вероятностные методы помогают в преодолении
существенных трудностей, возникающих в анализе.
Теория стохастических дифференциальных уравнений, раз-
витая К. Ито и И. И. Гихманом, позволяет вероятностными
методами строить широкий класс марковских процессов, ко-
торые затем могут использоваться для решения уравнений с
частными производными.
Глава 1
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Марковские процессы описывают эволюцию систем, испыты-
вающих случайные возмущения, если эти возмущения незави-
симы в различные моменты времени. В этом случае состояние
системы в данный момент времени полностью определяет ве-
роятностные характеристики процесса, описывающего дальней-
шую эволюцию системы. Это означает, что прошлое поведение
