Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
так как по формуле обращения
3.2. Возвратность. Будем рассматривать случайное блужда-
ние с начальной точкой я=0. Назовем блуждание арифметиче-
ским, если шаг Ei имеет арифметическое распределение и не-
арифметическим в противном случае. Шаг распределения |
будем называть шагом блуждания.
а) Арифметическое блуждание. Рассмотрим це-
лочисленное блуждание с шагом 1. Определим случайную ве-
личину V как наименьший положительный номер, для которого
£у = 0, если для всех я>0 £п^0, то полагаем у = + оо. Блужда-
ние называется возвратным, если р{у< + оо} = 1; ели р^ =
= + оо}>0, то оно называется невозвратным.
Теорема 4. Для того чтобы блуждание было возвратным,
необходимо и достаточно, чтобы 2 р {Сл = 0} = + 00 •
л
Доказательство. Если £я = 0, то V<п. Поэтому имеем
такое равенство между событиями
{£„=0}= и ^ = *}П{£Я = 0} = и ^ = *}П{£„-£* = <>}.
События {у==й} и {£„ — ?б = 0} независимы, поэтому
р^ = £, ?л-£б = 0}=р^ = А}р{£„-£б = 0} =
= Р {V = л} Р {£„_* = (>},
р{£л = 0} = 2 р^ = £}р{£„_* = 0}.
6=1
Умножим это равенство на л", |Х|<1, и просуммируем по п,
получим
2 ^ р {£„=о}=2 2 ^р ^=р (?л_б=о}=
га = 1 /1 = 1 А—1
со /со \
= 2 Ь"р^ = п} 1 + 2 Ьяр{£„ = 0} ,
л=1 V п=1 /
откуда
оо со /со \ — 1
2 р^«}г=2 р{£л=о}х" 1+2 ьяр{£я=о} ,
оо / со \ —1
р^<оо}=Пт 2р{?« = °}^ 1 + 2 Ь"р Кя = 0}
и) ~\ V л=1 /
и предел справа равен 1 тогда и только тогда, когда
оо
2 р{£„ = 0}= + оо. □
п=1
Замечание. Пусть /(г)-\-Ме'^1. Тогда
р{£л = 0} = 2-^ 5 /"(2)^2 = ^ ^ Ие/»***
—1С —л
со сю <л
2Р{?п=0}=Пт2ГР{?„=0} = Нт2-1 ^Ъ^-^аг.
Оказывается, что можно перейти к пределу под знаком интег-
рала и утверждать, что блуждание возвратно тогда и только
я
тогда, когда ^ Ие йг= 4- оо (под интегралом неотри-
—я
дательная функция, конечная при г=£0). Имеется вероятностное
доказательство этого факта, оно довольно сложно и нет смысла
его приводить.
б) Неарифметическое блуждание. В этом случае
блуждание называется возвратным, если для всякого открытого
множества и, содержащего 0, выполнено с вероятностью 1
оо
соотношение 2 1. Пусть Уц — тот наименьший номер,
для которого ^и&и. Для возвратного блуждания Р{ус/<оо}=1.
Заметим, что для возвратного блуждания
со
2 7{£«бу}= + 00'
л=1
так как взяв V такое, чтобы при х&/, у&У было х + уб&,
можем записать
со оо
2 1$пви)> 2 + 1'
со
и правая сумма распределена так же как и 2 1{Ъп&'уХ) Поэтому
л-1
если М 2 7{£л6и} < 00 для нек0Т0Р0Г0 открытого и, содержа-
л=1
щего 0, то блуждание невозвратно. Пусть теперь блуждание
невозвратно. Это означает, что существует такая окрестность
V (ее можно считать интервалом вида (— 26, 26)), для которой
Р |2 7{С„(^} < о° | > 0. Тогда при некоторых г > 0 и а < 1
Р |2 7{:лб^}:>г|<а- Если У = ( —б, 6), то для всех х
Это вытекает из того, что для всех т событие {у„=лг} не зависит
ОТ ВеЛИЧИН 6т+1, 1^+2,----
р 2/(^рг+к^рк!-^.....ь-хеи,
[п-1 ) 4=1 I
оо ^ оо
п=1 ; 6=1
еА — л;е(7)а<а.
Значит,
оо /4-1
р 2 /{Цп-'&)>2г+2 =2р 2 7{и-*е^<г+1.
1=1 ) 4=1 1п=1
£ со 1
2 /{^бу}=г+1' 2 /{с„-^бу}>г+1 =
17 = 1 Я=А+1
{„II /^«-д:ес/}<г+1°п£17{Ел-*еи};
хр 2 1{1п-гк+1к-^и}>г+\1Ц,
1/1=4+1 )
так как §„—£й не зависит от £А, и последняя вероятность не
превосходит а, т. е.
Р{2 /{:,-х6Ю>2г + 2}<
оо /4-1
<«2 р 2 ^»-^}^г+1=2/г-»-^ <а2-
4=1 1п=1 п=1 ;
Аналогично устанавливаем, что
р|2 1{1п-*ви)> тг + /и|<а"г-
Поэтому
со
м2 /{^}<(Г+1)2'геа^1< 00 •
п=1 т
Мы доказали такое утверждение.
Теорема 5. Блуждание невозвратно тогда и только тогда,
когда для некоторого открытого множества, содержащего О,
2 Р {^пЧЩ < 00 ■ Легко видеть, что тогда это выполнено и для
17
любого ограниченного открытого множества II.
Замечание. Так же, как и в арифметическом случае,
можно выразить условие через характеристическую функцию
шага: для возвратности необходимо и достаточно, чтобы для
всех 8>0
