Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
порожденная случайным элементом £„-). Последовательность
{!„} называется последовательностью независимых случайных
элементов, если {^|л}—последовательность независимых о-алгебр.
Пусть &(Хп, &п) — пространство ограниченных ^„-измеримых
числовых функций на Хп. Множество Тпа@"(хп,&п) называется
тотальным, если из равенства)
j f(x)Pi(dx) = j f(x)\i2(dx), f£Tn,
где pj и p2 — конечные меры на 33п, вытекает, что р, = р2.
Теорема. 1) Если Ei (со), ...,£„(©)— независимые случайные
элементы, то, каково бы ни были gkak,&ky k = \, ...,n,
будет выполнено
n n
мП^(У = Пм^(У- (5)
2) Если (5) выполнено для всех gk&Tk. где Т,гс:^хк, &ky
Tk — тотально, то элементы \х (со), ...,£„ (со) независимы.
Доказательство. 1) Равенство (5) справедливо, если
gk — индикаторы. По каждому gk обе части (5) линейны и непре-
рывны относительно равномерной сходимости, а всякая функция
из ^(xk,g§k) представляется в виде равномерного предела конеч-
ных линейных комбинаций индикаторов.
2) Покажем, что (5) справедливо для всех gi&&'(xk,g&ky Оче-
видно левая часть (5) представима в виде j gx (х) pj (dx), где
Pi(ßi) = M/Bl(ii)g2(i2) ••• gniln)- Правая часть (5) представима
в виде jg! (х)\х: (dx), где р, (ß) = P(|,6ß,}Mg2(i2) • ■ • g„(i„).
Это справедливо для всех g&SF^x.gsj. Для g&Tx \ g\(x)^(dx) =
= § gi(x) Piidx) и, значит, f^i = ^i- Поэтому (5) справедливо для
всех gl£&'(x,£ly g2&T2, ..., gneTn. Аналогичные рассуждения
убеждают нас, что (5) справедливо при всех g&&'(x,g&ly
güß^(x,3S2y g3GT3, ..., gneTn и т.д. Для независимости
|15 . ..,5п достаточно, чтобы (5) было выполнено для индика-
торов.
Замечание. Если gft — бесконечная последовательность
независимых элементов, то утверждение 1) справедливо для всех
п, если (5) выполнено для всех п и gk&Tk, то g/г — независимы.
Следствие 1. Пусть Xn = F(d, 93n = 2ßRd. Векторы lkeRd,
k = \, ..., п, независимы, если
а) для любых непрерывных функций /и fndCRd
п п
мП/*(Ы=Пм/4 (Ы;
б) для любых ги ..., гпвРа
Мехр и 2 Ци, «*)\ = IIМ ехр {I (£к, гк)}.
Утверждение а) вытекает из того, что множество СЛ</
тотально, б)—из тотальности множества {ехр{г (г, х), 2б/?й}.
Следствие 2. Если величины в /?! |ь |г,. • •, 1« незави-
симы, то
а) их совместная функция распределения представима в
виде произведения функций распределения отдельных величин:
п
»=1
б) их совместная характеристическая функция представима
в виде произведения характеристических функций отдельных
величин:
Фб.-ЕяСь ^„) = Мехр 1*2**1*[ = П ФеА(^*)
I /Ь=1 ) к=1
и каждое из этих условий влечет независимость случайных величин
II ■ ■ • > 5л-
Следствие 3. Если величины ...,£„ независимы и
мц*|< 00, то М|! ... |„ = П М£*.
6=1
Это утверждение легко получить с помощью предельного
перехода от ограниченных величин.
§ 2. Последовательность независимых случайных величин
2.1. Суммы независимых случайных величин. Пусть
Ъ, Ъу - ■ ■ — последовательность независимых случайных вели-
чин в Я1. Рассмотрим последовательные суммы £ь = 11+
+ ...+£&, &=1,2,... - Распределение суммы двух независи-
мых величин | и г) с функциями распределения /^(х) и
как легко убедиться, выражается сверткой функций распреде-
лений слагаемых.
^-н(*)'=Л(*)*^ч(*)= $ ?ъ(х-у)с1Рч{у).
Если ^ — функция распределения величины то функция
распределения Т7^ велиичны представима в виде
Т7!*^* ... (легко видеть, что операция свертки коммута-
тивна и ассоциативна). Еще более просто выражается харак-
теристическая функция суммы через характеристические функ-
ции слагаемых. Действительно
{п 1 п п
И 2 Щ = М П ехр {Щк} = Д М ехр [НЫ,
т. е. характеристическая функция суммы независимых случай-
ных величин равна произведению характеристических функций
слагаемых. Точно так, если \ь, — неотрицательные случайные
неличины, то при А,>0
Мехр|-?,2^}^йМехР{-^Ь}
— преобразование Лапласа суммы независимых случайных ве-
личин есть произведение их преобразований Лапласа. Если же
^ — независимые целочисленные неотрицательные случайные
величины, | г то
Мг5,+-+Е» = ПмгЧ
Функция М 2е, где \ целочислена и неотрицательна, назы-
вается производящей функцией %. Значит, производящая функ-
ция суммы независимых случайных величин равна произведе-
нию производящих функций слагаемых.
а) Неравенство Чебышева. Закон больших
чисел. Пусть |— числовая случайная величина, для которой
М|2<°°. Тогда для любого с>0.