Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
P{sup \^\>а}<1кР{\1я\>а-с}.
В первом случае для величин \к и —\к выполнены условия
теоремы с а = 0, Р=у- Во втором для \k и —gft выполнены
условия теоремы с а=—с. Записав еще соотношение
P{sup (-C,)>a}<^-P{- £„>a + a}
и складывая его с неравенством (4), получим неравенства для
модуля.
2.3. Сходимость рядов из независимых случайных величин.
Пусть ап монотонно убывает к нулю. Тогда ряд 2(—\)пап
сходится всегда. Можно поставить такой вопрос: что можно
сказать о сходимости ряда, если знак у n-го члена выбирать
«наудачу». Точно это означает, что мы рассматриваем ряд
2eftaft, где Eft — последовательность независимых величин, каж-
дая из которых принимает с вероятностями 1/2 значения +1
или —1. (Это пример ряда из независимых случайных величин).
Естественно поставить вопрос о сходимости такого ряда. Из за-
кона 0 или 1 Колмогорова вытекает, что ряд или сходится
с вероятностью 1, или расходится с вероятностью 1. Будем
оо
в дальнейшем рассматривать ряд 2?*> где 1* —независимые слу-
п
чайные величины, £„=2 is—ег0 частные суммы.
6=i
Теорема 1. Пусть существуют Mg4, Щк. 1) Для сходимо-
со
ста с вероятностью 1 ряда Достаточно, чтобы сходились ря-
оо со
ды 2 M-lk и ^Щк. 2) Если при некотором с>0 P{|g*| > с} = 0,
6=1 *=i
оо
то условия в 1) необходимы для сходимости ряда По веР°"
6=1
ятности (а значит, и с вероятностью 1).
Доказательство. 1) Не ограничивая общности, можно
считать, что Mgft = 0. Тогда для д>0 на основании неравенства
Колмогорова
т со
Р{ sup |5*-£„|>аХа-2 2 Щ^а'2 2
п<Ь<т *=л+1 ft=n+l
Переходя к пределу при т -> со, находим
со
P{sup|^-?„|>a}<a-2 2
Отсюда
Р { sup | Sft - £z I > 2a} < P {sup I S* - £„ I > a} +
CO
+ P{sup|£,-SJ>a}<2a-2 2 DS*-
Положим 11«= sup I Z,k — £,! • Величины Tjn убывают era, значит,
k,l>n
существует lim f\n = ц. Очевидно
P{rj>2a)'<lim P{r)„>a} = 0.
Я-*-оо
Поэтому для ряда 2 lu с вероятностью 1 выполнен критерий
сходимости Коши.
2) Используем метод «симметризации», который часто при-
меняется при изучении сумм независимых случайных величин. Рас-
смотрим наряду с величинами gft еще и последовательность вели-
чин \k, которые независимы, совокупности величин {Ik, £ = 1,2,...}
и {lk, А = 1,2,...} также независимы, gft и ^ имеют одно и то
же распределение. Такие величины можно построить беря вто-
рой экземпляр исходного вероятностного пространства {Q, У, Р}.
Если его обозначить {Q', , Р'}, то можем рассмотреть произве-
дение вероятностных пространств {Q X Р X Р'}. Если
|ft (со) — исходные величины, то они могут рассматриваться как и
величины на произведении |*(со, со') = gft(a>). А величины l'k тогда
определяются как |а(со')- Величины |* = !* —будут симметрич-
ны. Очевидно ||ft|<2c, Mgft = 0, D|ft = 2D|ft. По предположению
можно указать такое г>0, что для всех п
Тогда на основании следствия 1 из п. 2.2.
p{sup|£e|>r}<-±.
И поэтому из неравенства Колмогорова б) вытекает, что для
всех я
п
Ъ1п<2{г + с)\ 2^Щк<2(г + с)2.
Значит, 2Р1ь <°о- Поэтому для величин (!* —М|й) выполнены
со
условия 1) теоремы, ряд ^(1к — Щк) сходится с вероятностью 1
*=1
оо
и по вероятности. По предположению ряд 2^* также сходится
*=1
по вероятности, а тогда сходится и разность этих рядов
оо
М|А (это ряд из неслучайных величин, сходимость по вероят-
*=1
ности совпадает с обычной сходимостью).
оо
Следствие. Ряд 28*а*' гДе 8*— независимые одинаково
к=\
распределенные величины, Р{еА= ± 1}=2-, дА —ограниченная по-
следовательность, сходится с вероятностью 1 тогда и только
тогда, когда 2 а\ < 00 •
Теорема Колмогорова о трех рядах. Ряд
21/1 из независимых случайных величин сходится тогда и толь-
ко тогда, когда при некотором с<0 сходятся ряды
а) 2Р<1*»1>С>. Ь> 2МИ^1«}' С) 2°^/{1^«Г
Доказательство. Если сходится ряд а), то сходится ряд
2 ^{|6*!>С}'
так как по теореме Бореля —Кантелли он с вероятностью 1
имеет лишь конечное множество ненулевых членов. Если сходят-
ся ряды Ь) и с), то сходится ряд 2 Ък1{мк\<с} в силу 1) теоре-
мы 1. Достаточность условий теоремы установлена. Пусть ряд
2Еб сходится с 'вероятностью 1, тогда Р{Нт|„ = 0}=1 и, зна-
чит, каково бы ни было с У 0, среди событий {||л|>с} с вероят-
ностью 1 происходит лишь конечное число, поэтому ряд а) схо-
дится. Но тогда сходится с вероятностью 1 ряд (5), а значит, и
ряд