Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
оо оо
N (*) = 2 пР (V (*) = п} = 2 яР {£„-1 < * < 1п} =
П=\ П= 1
оо
-2 Я(р{2я>'}-Р
Поэтому
оо оо оо
| е-иы у) йг = 2 «I е~и (р &п > 0 - Р {£«_! > *}) сИ =
О и=1 О
Из этого соотношения вытекает, что N (і) конечно для всех І.
Теорема 1. Пусть М|і<со. Тогда
І-уоо 1
Доказательство. Легко видеть, что величина v(5n+
+«)—у(£п) не зависит от |і, ..., |п и распределена так, как
у(п)—v(0)=v(/l) — 1 (ч(%п+п)—у(£п)—число восстановлений
на Кп, ?п+л]; так как левый конец—момент восстановления,
то это число имеет то же распределение, что и число восста-
новлений на ]0, А]). Если <.%к, то v(Sft)— \Ц) = \, по-
этому
V (*+К) - V (0 = 2 %*<'+*} (V ^ + А) - V (0) <
< 2 7<:*}Л'-*^*} (V (* + А) - V (&) +1) <
<у(£4 + А)-у(Ей)-1-1.
Беря математическое ожидание, получаем ТУ (< + А)< Л/ (<) +
-[-./У (А). Из этого неравенства вытекает, что Пт ТУ (^)/^ < со.
/-*-оо
Пусть с = НгаЛ^(/)/<. Если 1п—такая последовательность, что
пт—г-^ = с, то ига —4-^<с, поэтому
ига —-г2 = с.
Чтобы найти значение с, воспользуемся равенством
со со
оо
Переходя к пределу при' Х->0 и учитывая, что Ит \_Ме Я" —
= М|1, получаем доказательство теоремы. □
Доказанная теорема показывает, что N ({)—Щ~'*> т- е-
среднее число восстановлений за время I асимптотически про-
порционально времени и обратно пропорционально среднему
времени работы одного прибора. Для более точного исследова-
ния асимптотики N(t) при /->-оо нужно различить два случая.
а) Арифметические распределения. Величина
| в R имеет арифметическое распределение, если при некото-
ром h величина h~x% целочисленна. Максимальное такое h на-
зывается шагом распределения. Если /(z)=MeizE — характери-
стическая функция величины %, имеющей арифметическое рас-
пределение с шагом h, то 2nh~l минимальный положительный
корень уравнения f(z) = l. Это вытекает из того, что h есть
наименьшее положительное число, принадлежащее минималь-
ной группе G, содержащей все те x&R, для которых Р{1 =
= х}>0.
Теорема 2. Пусть gi имеет арифметическое распределе-
ние с шагом h, Mgi<oo. Тогда
\im\N(t+ii)-N{t)\ = -^-.
Доказательство. Будем считать, что А=1. Положим
<7„ = 2Р{£* = /г}, п~>\, ^„=1. Тогда для целых *>0 N(t) =
= Я0-\-... -\-q~t- Для доказательства теоремы достаточно показать,
Ит<7<=~мт~-
Пусть /(г) = Ме'гЬ = 2р {l\ = ti}eizn, тогда /*(z) = Meiztk=
= 2 Р = R) е'гл« Поэтому
со л со л
—л ft=0 —я
сю я
= ^2 S Sin (2)^2.
*=0 —я
Пользуясь тем, что при 0<|2|<п f (z)фО, /'(0) = Ш|! и зна-
, I sin иг I
чит, функция | ограничена, можем внести сумму под
знак интеграла. Поэтому
я
_ 1 Р sin лг г , _ I 1 Р sin г , .
^« TFT J 5 l—f(z)az—"ЩГ~"ш/'(0), ,J ~^г +
—я ^ 4 ' tol ^ v ' |г|>ля
'О
что
1
t-*-oo
. I f sin яг/ г___I \ .
+ ш J г 11-/(г) f'(0))aZ
/ (г) /' (0) ,
То, что последний интеграл стремится к нулю для непрерьюно
дифференцируемой / (г), для которой / (г) ф / (0), чисто ана-
литический и несложно доказываемый факт.
Замечание. При MEi-=-f-°° теорема остается справедли
вой, если положить--'=0.
б) Неарифметические распределения. Так называ-
ются те распределения, которые не являются арифметическими,
если Ei имеет неарифметическое распределение, а f (z) =
= MeizZ>, то Re/(г)<1 при гфО.
Теорема 3. Если Ei имеет неарифметическое распределе-
ние, MEi < оо, то для всех и>0
\im{N{t + u)-N(t)) = -£-.
Если MEi = + oo, то правая часть в последнем равенстве равна
нулю.
Доказательство. Достаточно доказать, что для до-
статочно гладких финитных функций ф(«) будет
lim { ty(u)dN (t + u) = \im \ ф(# — t) d N (и) =-j^— \ гр(и) du.
CO
Далее ^г[)(й— t)dN (и) = ^ Мг|>(?„ — *). Если ty(u) = ^eiuvty (v)dv,
n=0
то Mty(t,n — t =^e-lvtfn(v)y(v)dv.
Значит,
CO
\ Ц (и— t) dN (u) = ^ 2 /" N Ф («) ^ =
== J i_/(p) ^ W ^=2 J — -тзгт^-Ф И
Опять используя то, что lim I—., ■г = ~дг~» и обоснование воз-
можности предельного перехода (задача чисто аналитическая и
особых затруднений не вызывает), получим, что предел справа
равен
Mg, J v M£, Mg, J Y W
