Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

б) Стохастически непрерывный процесс. Слу-
чайный процесс КО называется стохастически непрерывным,
в точке £0, если К*п)-*-К*о) по вероятности при /п-^о- Пусть
процесс КО определен при £б[а, Ь] и стохастически непреры-
вен в каждой точке, тогда каковы бы ни были е>0 и р>0
найдется такое б>0, что при |/1—^21 <6 Р{ | КМ —К^) ! >
>е}<р. Это свойство называется равномерной стохастической
непрерывностью. Если бы это было не так, то нашлись бы две
последовательности Ьп и такие что 1п— ^п->0 и при некоторых
е>0 и р > 0 Р {| £ ({„) — I (С) | > е} > р. Не ограничивая общности,
можно считать, что £„->-£0, 1п^-^, 10£[а, Ь]. Но тогда £(^л)->-
->|(*0), 1(0->К^о). КО —К^л)-^0 по вероятности, а это
противоречит предположению.

в) Разложение Леви.

Теорема. Для всякого процесса с независимыми прира-
щениями КО можно указать такую неслучайную функцию
а(0, что К0=а(0+Г(0+Г(0, где Г(0, I" (0 - независи-
мые процессы с независимыми приращениями, |'(0—дискрет-
ный, 5"(0 —стохастически непрерывный.

Доказательство. Положим a(t) =tg М arctg l(t).
Тогда можно убедиться, что функции

gi(s, t,z)=exp {—i(a(t)—a(s))z}g(s, t, z)

имеют пределы при sf, s\, t\, t\, т. е. не имеют разрывов вто-
рого рода. Если {tk} — все точки разрыва, то g(tk—, h, z),
g(tk, 4+, z) будут характеристическими функциями некоторых
величин, эти величины определяются как пределы в смысле
сходимости по вероятности величин %{th)—Е(4—п) >
| (tk+h) — I (th) при Л—>-0. Обозначая эти пределы через ел- и
Ей+, соответственно можем убедиться, что это независимые
величины, и если %'(t)—дискретный процесс, построенный по
этим величинам, то \"(t) = £(t) — \'(/) будет не зависящим от
§'(0 стохастически непрерывным процессом с независимыми
приращениями.

4.2. Стохастически непрерывные процессы. Пусть \(t) —
стохастически непрерывный процесс на R+. Обозначим через
D+ множество всех двоично-рациональных неотрицательных
чисел. Мы покажем, что для всякой монотонно убывающей по-
следовательности tn£D+ существует с вероятностью 1 limg(rn).
Так как процесс стохастически непрерывен, то этот предел с
вероятностью 1 совпадает с |(limrn). Продолжая указанным
способом %(t) с D+, мы получим непрерывную справа модифи-
кацию £(/). У нее будут существовать в каждой точке и пре-
делы слева, так что это будет процесс без разрывов второго
рода.

Пусть x(t)—некоторая функция с числовыми значениями,
определенная на множестве Т. Будем говорить, что она имеет
k е-колебаний, если можно указать такие t0<ti<Z ■ ■ ■ <th
из Т, что \x(tt) — x(ti-i) I ^е, i=l,..., k, и нельзя указать А+2
точки с тем же свойством. Функция x(t) не имеет разрывов
второго рода тогда и только тогда, когда она для всех е>0
имеет конечное число е-колебаний.

Лемма 1. Пусть £(/)—процесс с независимыми прираще-
ниями, определенный на множестве An = {ti, . . . , tn), t\<
<...</„ и для всех k P{\l(tn)—l(th) |>е/4}<«<1/2.
Если v« — число е-колебаний процесса %(t) на Ап, то Mvs^
<а/(1— 2а).

Доказательство. Событие {vs>m} влечет одно из со-
бытий n i {| g (tj) - s (ti) ( < \} Г) {i l (**) -1 (*i) I > I} П {число е-ко-
лебаний l (t) на Anf][tk, oo[>m — 1}. Так как эти события не-
совместимы, а последнее событие в пересечении не зависит от k
первых, и вероятность его не превосходит P{Ve>OT — 1}, то

P{ve>OT}<P{ve>OT-l}p|sup|g(/4)-g(/1)|>^}<
<P{ve>m-l}-r^

(мы воспользовались следствием 2 из п. 2.2). Значит,

со

тп=\

Используя эту лемму, можем утверждать, что если к
выбрано так, что Р{|Е(ъ) — Е(0 |>е/4}< 1/3 при \s-t\-Ch,
э, Т, то на О+(][0,Т]%^) имеет с вероятностью 1 конечное
число е-колебаний (поскольку это будет справедливо для
любого конечного подмножества из \Ш, (&+1)й] и математи-
ческое ожидание числа е-колебаний имеет равномерную оцен-
ку).

Лемма 2. Пусть Ее (*) = 2(£ — —)) ^{1Е(*)-Е(*-)>е},

МО = £(*)-МО-

Процессы ёе (0 и Ее (0 являются независимыми между собой про-
цессами с независимыми приращениями.

Доказательство. Обозначим через &\ а-алгебру, порож-
денную с (и) — Е (5) при $ < и < £. При £0 < ^ < ... < о-алгебры

5^,... независимы. Очевидно, что Ее(0 —Ее(я) и

Ее(0— Ее(^) ^-измеримы. Поэтому для доказательства достаточ-
но проверить, что К (0 —Ее (5) и Ее(0~ Ее (з) независимы. Не ог-
раничивая общности, можем считать, что 5 = 0, Е(0) = 0. Докажем

— к

независимость Ее (0 и Ее(0- Пусть <„й = —^. Для всех 8>0, за

п

исключением может быть счетного множества Ее (0 = пт 2 ^я*'