Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
п
или с вероятностью 1. В последнем случае блуждание назы-
вается ограниченным сверху. Если Р (inf £„> — оо}= 1, то
п
блуждание ограничено снизу.
Теорема 6. Для того чтобы блуждание было ограничен-
ным сверху, необходимо и достаточно, чтобы
оо
2ip{^>°}<*>- (12>
Доказательство. Формула (9) справедлива для ком-
плексных ц. при Im [i^O. Подставим в нее вместо ц величину
где ц,>0. Получим
СО ( СО СО
jV^tfQ (К, х)=1-ехр J ~ Ue-»*-\)dFn(x)\.
О U = l О J
Так как по определению Q(X,0 —) = 0, интегралы рассматри-
ваются по областям, включающим 0, то интеграл слева равен
оо
Q(K, 0)-f-j e-v-xdQ (к, х). Последний интеграл стремится к нулю
0+
при оо. Поэтому
М^о = Q (К, 0) = 1 - exp J - 2 ^ Р {In > 0}J,
lim V. = /{То<=о}, Р (t0 < со} = 1 - exp J - 2 \ Р > 0}}- (13)
Рассмотрим величины (тс, «(0), (т^1^ определяемые после-
довательно следующим образом: если т0<оо, то т'1), —
момент и величина первого перескока через 0 для случайного
блуждания £и2) = £(о) — S(1m и т- Д. Легко проверить, что рас-
то +п т0
пределение пары (т^*>, у^'), если она спределена при условии,
что заданы (tG, у0), ..., (т^_1), f{0к"1)), совпадает с распределе-
нием (т0, ч0). Пусть выполнено условие (12). Тогда на основа-
нии (13)
Р {sup ln < оо } > Р {т0 = с*} = exp j - 2 ~ Р {£* > 0}j > О,
значит, Р{sup£„< со} = 1. Пусть ряд в правой части (12) рас-
ходится. Тогда Р{г0<оо}=1 и все т<*>, определены,
независимы и одинаково распределены, Р {■>(<*) > 0} = 1. Поэтому
(последнее вытекает из теоремы о трех рядах, так как при неко-
тором с > 0 Р {у <*) > с) = Р {у0 > с} > 0 и значит 2 р {т^> > <?}=
§ 4. Процесс с независимыми приращениями
4.1. Определение. Пусть ТаЯ, процесс £(/), £6Т со значе-
ниями в некотором измеримом линейном пространстве (Х,&)
называется процессом с независимыми приращениями, если,
каковы бы ни были ^о<^ < . . . ■</„ из Т, случайные величины
со значениями в X Щ0), |(^) — I (к),. .., | (Тп) — | (^-1) неза-
висимы. Линейное пространство X с ст-алгеброй Я называется
измеримым, если измеримо отображение в X, задаваемое
суммой х-{-у. Тогда разность двух случайных величин будет
также случайной величиной. Случайное блуждание — пример
процесса с независимыми приращениями для Г={0, 1, . . .}.
Будем рассматривать числовые процессы. Введем характери-
стические функции /(/, г) =М ехр {1'г|(/)}, g(s,t,z) =
= М ехр{12(|(/)—1(5))}, t,s£T•, Они удовлетворяют со-
отношениям: 1) при в<Т f(t,z)=g(s,t,z)f(x,z), 2) при я<
<Т<ы g(s, и, z)=g(s, t, z)g(t, и, г). Характеристические функ-
ции /(Л 2), £ (в,г) определяют конечномерные распределения
процесса: при ^</г< • . • <^?г
+ г(2га + гга_1)(Е(^_,)-?(^-2))+ ... +*(z,+ ... + г„) £(*,)}=-
= /(*!. «1+ • • • + z«)g"Ci. *2, ^2+ ... +z„):. :g(^_!, z„).
Таким образом описание процессов с независимыми прираще-
ниями сводится к описанию указанных характеристических
функций. Мы будем предполагать, что Т совпадает с Т?+. Оче-
видно, что |(0) может быть любым. Поэтому задача сводится
к отысканию £(5, 2).
а) Дискретный процесс с независимыми прира-
щениями. Пусть {^, £=1, 2,...}—некоторая последовательность
в |*Г —две независимые последовательности независимых
случайных величин, для которых сходятся ряды
п
P{sup Сй= + оо} = Р
оо ==1, Tf<°) = Tfo
для всех ^Я* и их суммы не. зависят от порядка слагаемых
(анализируя доказательство теоремы о трех рядах можно убе-
диться, что последнее будет выполнено, если
2 7{<*«> (I ш^1\\ч\<с] \+1 м^*+7{|^н I) < °° )•
Процесс
£'(0=2/{'*<'>ь"+2/{'*<<>^
будет процессом с независимыми приращениями. Можно вы-
брать так последовательность пт—оо, чтобы процессы
|т(0 = 2 7{'*«}^ + 2 ^{(к<Ф^
к<пт к<пт
при т-^-оо сходились равномерно с вероятностью 1. Для этого
достаточно, чтобы для некоторой последовательности ат|оо
было выполнено
2 р {вир I и (о - (о I > ~2] <00 •
Вероятность, стоящая под знаком суммы, оценивается с помощью
неравенств п. 2.3. Если под \' (О понимать предел £т(0. (£' (О
определяется с точностью до модификации см. гл. 4, § 1), то
£' (О непрерывно всюду, за исключением точек /г = 1,
при этом |^ = + )-£'('»). £Г = ('*-)■