Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
Р{||-МЕ|>С}<£Щ/с2. (1)
Доказательство этого неравенства получается из следующего:
если г|>0 и Мт)-<°°, а>0, то
Р{т)>а}<а-1Мг1. (2)
Очевидно г\^а1[Г1^а). Беря математическое ожидание, по-
лучим (2). Чтобы получить (1), нужно применить (2) к т| =
= —М£)2, полагая а=с2. Неравенства (1) и (2) носят на-
звание неравенств Чебышева. Неравенство (1) было получено
Чебышевым для сумм независимых случайных величин, исполь-
зовано для следующей теоремы, носящей название закона
больших чисел.
Нам потребуется следующее простое свойство: если Е и *п
независимы, то О(^+т]) = 0£+Ог|, если только правая часть
конечна. Действительно
+2М^Ч+Мт)2— (М|)2—2М£Мт]— (Мг|)2=0£+Ог),
так как в силу независимости 5 и г| будет М|г|=М|Мч. Оче-
видно, что дисперсия суммы независимых случайных величин
будет равна сумме их дисперсий, каково бы ни было число
слагаемых.
Теорема Чебышева. Пусть |2, ...,%„,... —независи-
мые случайные величины, для которых существуют М|„, Dg„
и sup Dg„ < оо. Тогда для всякого е > О
limP
п-*оо
-2ь--2мі
"ffi "Я
>є =0.
(3)
Доказательство. На основании неравенства (1) ве-
роятность в (3) оценивается сверху величиной
>№)-^;§|>е.-о(тИ
□
В теореме Чебышева устанавливается сходимость по вероят-
ности к нулю разности среднего из случайных величин и сред-
него из их математических ожиданий. Теоремы, дающие ус-
ловия, когда это свойство справедливо, носят название зако-
на больших чисел.
Если закон больших чисел (з. б. ч.) справедлив, то среднее
большого числа случайных величин «практически» неслучайно.
Физической иллюстрацией з. б. ч. может служить постоянство
давления газа на стенки сосуда, хотя это давление опреде-
ляется суммарным импульсом молекул газа, соударяющихся со
стенками сосуда. 3. б. ч. используется для точных измерений
приборами, дающими случайные ошибки: беря среднее из п
независимых измерений мы при п достаточно больших полу-
чаем сколь угодно точное значение измеряемой величины.
Замечание. Теорема Бернулли (п. 2, § 1.3) является
частным случаем теоремы Чебышева. Действительно, если Ап —
независимые случайные события, Р(Ап) = р, то, полагая — 1а
п »
будем иметь ^п=^Ъ>к, М1п = р, &1п=>р — Р2- Так как величины
\к независимы, то для всех е>0
1
>8 =0.
11тР \\пУ"~Р
2.2. Неравенство Колмогорова.
Теорема Колмогорова. Пусть gi.....|„ — независи-
мые случайные величины, Mgft = 0, D|ft<oo, %k = \\-\-..
Тогда
а) P{sup|^|>a}<a~zD£„,
б) если, кроме того, |£й|<С, А = 1, то
Доказательство. Положим Х1 = ^{1ы>а}, Х* =
п
= ^{1ы<л.--м|^_11«г. \1к\>а\, £=2, ...,П. Тогда 2 Х* = Лвир^хп.
*=1 1 * '
Величина х* не зависит от 1Ш, ..., £„. Поэтому
М (£„ - £*) Хй£* = М (5Я - £») МХ^ о,
М (£„ - £*)2Х* = М (£я - ?*)2МХ* < МХк ■ М£2.
Очевидно также, что
ах*<|Б*|х*<(в + 8ир| £*|)ха-
А
Значит,
а2м2х* = а2Р{зирК*!>а}.
Л1Й > МЙ Ц X* = м 2 [(£» - ЕЛ* + 2 (£„ - £*) Х*£* + £*Х*] >
16=1 *=1
п
>а2М_....
Отсюда получаем утверждение а). В случае б)
п / п \ п
Ш1 = М£2 2 X* + Ме2 1 - 2 Ъ < 2 (М£*Ь + Мх*-Мй) +
к=--\ \ й=1 / й=1
+ а2Ж (1 - 2 X*) < Р {зир 11, | > а} Щ2п + (а + ^)2 2 МХ* +
V »=1 / *<" /Ь=1
+ а2 (1 - 2 Мха ) < Щ1Р {вир | | > а] + (а + с)2.
\ /Ь=1 / *<«
Отсюда получаем утверждение б).
Приведем еще одно неравенство, в котором оценивается
Р{$щ\и\>а).
Теорема. Пусть при некотором ос для всех >Ь == 1, 2, ..., п.
Р {£„ - 1к > «} > р > 0. Тогда
Р{8ир£*>а}<:£Р{5я>а + а}. (4)
Доказательство. ?{х*=1}<| Р{Х/ь=1}р{^ — =
= ^Р{Х* = 1, С„-СА>а}<|Р{хА=1, £„>а+а} (мы воспользо-
вались независимостью х^ и Суммируя эти неравен-
ства, получаем доказательство, поскольку
2Р{Хй=Цп>а+аКР{и>А+а}
в силу несовместимости событий {хй=1} при разных к. □
Следствия. 1. Если величины gft имеют симметричное
распределение (это означает, что —1& имеют одно и то же
распределение), то
P{supCft>a}<2P{C„>a}, Р{sup | U | > a}<2P {| £„ | >а).
6<л 6<л
2. Если при некотором с>0 для всех k = 1,2, ...,п
Р{К„ —С*|<с}>р, где р>0, то при а>с
