Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Не,.....ея_,(Я)=Фе,.....вЛО-1*), Ве%п.

Если (0!, ..., 0„) = Л, то на $л определена мера \лА'

Свойство 1) обеспечивает независимость значения меры от спосо-
ба нумерации элементов множества Л. Далее, поскольку при
Л1СЛ2 будет %к'сМк\ то возникает естественный вопрос о связи
между |1Л1 и цл2. Свойство 2) обеспечивает то, что цл« и Нл,
совпадает на %к\ т. е. Цл2 является продолжением цЛ, (свойство
2) устанавливает это, если Лг\Л1 одноэлементное множество).
Тем самым определена конечно аддитивная неотрицательная
функция множества на алгебре и $А. Для того чтобы она

продолжалась до счетно аддитивной меры на <&'(Х, в), необхо-
димо и достаточно, чтобы она была счетно аддитивной (или
непрерывной) на алгебре цилиндрических множеств.

в) Теорема Колмогорова. Эта теорема дает до-
статочные условия существования меры на ^{Х, в) с заданны-
ми конечномерными распределениями. Эти условия формулиру-
ются в терминах измеримого пространства.

Условие К- Для всех существует класс множеств

Жпа$п, удовлетворяющих условиям:

К1. Для п>\ и Б&Жп (ЗБеЖп-и здесь (2 — проекция Хп на
Хп~1.

К2. При 5тбХп, т=1, 2, ..., ОЭ^Жп.
КЗ. Для всех Вь$п и любой меры ц„ на $}п
цп(В)=зир[р,п(5) -.Э&Жп, ЯсВ].

Если X борелевское пространство (т. е. является борелевским
подмножеством полного сепарабельного метрического прост-
ранства), то в качестве Жп можно взять класс компактов в Хп.

Теорема. Если (Х,<М) удовлетворяет условию К, то со-
гласованные конечномерные распределения определяют вероят-
ностную меру на ^(Х, в).

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай
счетного в. Будем считать, что в={1, 2, ...}. Обозначим через
цп вероятностную меру на (Хп, $п), отвечающую Л„ = {1, 2, ...
..., п). Так как каждое конечное подмножество попадает в Лп
для достаточно больших п, то ц„ определяют конечномерные
распределения, условия согласования для них те же. В рас-
сматриваемой ситуации теорема утверждает, что существует
последовательность случайных элементов х„(со) в (Х,31) с за-
данными для всех & совместными распределениями элементов

#i(cu), ..., Xft(co). Для доказательства теоремы достаточно по-
казать, что если Сп последовательность цилиндрических мно-
жеств Cn=>Cn+i, р,(С„)>б>0, то (]Сп непусто. Здесь через ц
обозначена конечно

аддитивная функция на и <ёА", совпадающая с цЛ на $Л**

п

Не ограничивая общности, можно считать, что Сп&@Хп. Пусть
€п = {РАпхеСп}, где Спв$п. В силу условия К. 3 можно считать,
что Сп£Жп. Рассмотрим оператор Qn, заданный на и Хт ра-

венством Q„(xu ..., хт) = (хи ...,хп), т>п.
Определим множества в Хп

С^= П Qn(Cm), С<*+1,= n Qn(C\kn\ k>n, с„== n с<*>.
При СпеЖп и С(п^Жп, СпеЖп.

т-уао т->-°о

= lim цт(С£-1)) = lim|im(Cm)>6.

/тг->-оо т-*-оо

Значит, и ji„(CJ>6, множество С„ непусто. Можно убедиться,
что Q„(Cn+i) = C„. Будем говорить, что точка (хи ...,xm)£Xm
допускает продолжение, если для всех 1>т можно указать
х'т+и ...,х\ такие, что (хи ...,хт, х'т+и ...,xli)eCh точки,
стоящие слева, назовем продолжениями (хх, ..., хт). Легко ви-
деть, что Сп] состоит из точек (хи хп), допускающих про-
должение, Сп} из тех точек, продолжения которых допускают
продолжение (тогда будем говорить что, (хи ...,хп) допускают
2-кратное продолжение), Спк) состоит из точек, допускающих k-
кратное продолжение, а Сп — из точек, допускающих
продолжения любой кратности. Очевидно, если (хх, ...
. .., хп+х) допускает продолжение любой кратности, то
и (xj,...,xn) обладает этим_свойством: Q „ (С п+х) = С п. Пусть
ххеСхаСх, найдется точка (хи x2)6CcC2, и т. д._Итак, для
всех п можно указать хп такое, что (хи ..., хп)£СпаСп. Но
тогда х = (хи х2, ...)6ПСИ.

п

4.3. Линейные топологические пространства. Слабые распре-
деления. Пусть X — линейное локально выпуклое топологичес-
кое пространство, X* — пространство линейных функционалов
на X. Для каждого конечномерного линейного подмножества
AczX* введем о-алгебру 3)А, порожденную множествами вида
{х : (р(х) <сх}, a^R, србЛ. Если Я — о-алгебра, порожденная

всеми линейными функционалами из X, то ЗЗ^эЗЗ*. С другой

стороны, если $о= 0 где объединение берется по всем

лег**

конечномерным подпространствам Л, то &0—алгебра, а 33 сов-
падает с наименьшей о-алгеброй, содержащей 38о- Множества из
■ЗЗо называются цилиндрическими, 33А — цилиндрические множе-
ства с основанием Л. Для задания меры на 31 достаточно за-
дать ее на ЗЗо. Пусть на ЗЗо задана аддитивная функция мно-
жества р, являющаяся вероятностной мерой на каждой о-ал-
гебре &х, где Л конечномерно. Тогда р называется слабым,
распределением. Очевидно, каждая вероятностная мера на 3$
порождает на &о слабое распределение, слабое распределение
определяет эту меру однозначно. Поэтому естественно задавать
вероятностные меры на (X, 32) с помощью слабых распределе-
ний. Уже рассматривался характеристический функционал ве-
роятностного распределения на линейном пространстве. По-
скольку для всех фбХ* функция ф(х) ^-измерима при фбЛ, то
для слабого распределения р также определен характеристиче-
ский функционал