Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

А[к)0(х\ ..., хп) = 0(х\ ...,х"-\ х" + к, хк+х, ...,хп) —
-0(х\ х*1),

§ 4. Построение вероятностных пространств

х'-у+со,

3) F(x\, xn) непрерывна слева по совокупности пере-
менных.

Если существует такая мера li, что F(xl, xn)=\i({y ;
:у]<ІХи уп<хп}), то F — функция распределения для ме-
ры li. Заметим, что в этом случае

AiV ...A^F(xu ...,*„) =

= ц([х\ xl + h,[X...X [x», xn + hn]). (1)

Теорема. Для всякой функции распределения существует
такая вероятностная мера ц, что выполнено (1).

Доказательство. Рассмотрим множества в Rn, пред-
ставимые в виде конечной суммы полуинтервалов в Rn вида
[fli, fti['X[ö2, MX- ■ -X[ön, Ь„[ (аг- могут принимать значение
—оо, Ьг- +оо). Такие множества образуют алгебру s&o. Всякое
множество из s&Q представимо в виде объединения непересека-
ющихся полуинтервалов. Пусть /— полуинтервал указанного
выше вида. Положим

р(/) = ЛІ1іи ... b^n-aJF (аи ...,ап)

и продолжим р(/) на как аддитивную функцию. Таким
образом мы можем построить конечно аддитивную функцию, для
которой выполнено (1). Остается проверить, что она продолжает-
ся до счетно аддитивной. Для этого нужно, чтобы она была
непрерывна на s4-0. Пусть Ст — последовательность множеств из
s$0, СтиСт+и ц(Ст)>6>0. Нужно показать, что Г\Ст не
пусто. Используя свойство 3), можно для всякого интервала
/ = [<2i, bi[X---X[an, bn[ указать такой Г = [аи Ь|[Х--.

.. . X [ап, Ьп'[, что а;<й/<й; и ц(І) — \і(Г) сколь угодно
мало. Пусть Cm=\jlmk и интервалы Imk не пересекаются.

Построим, как было указано выше, для каждого т, k интервал
Fmkalmk так, чтобы [/mft]c/mft ([■] —замыкание множества) и

~ ~ § N т ^ т

V(I,„k) — р{Іть)<шщі- Положим = U Cm=nC:. Тогда

т т

{1(ст)>11(ст)-2йсгчс;.)>б-22?(/ч/ш*)>

i=\ t=l k

т оо

> б—б. 2 2 2т+А+1> 2 •

i = \ Ä = l

Очевидно Cmz)Cm+u Cmc^0, [Cm]c[Cw[cCm. Так как Ст —
непусто, то П[Сш]^=0, а значит, и ПС„ непусто.

т

4*

51

4.2. Функциональные пространства. Пусть (X, Я) — измери-
мое пространство, в — произвольное (параметрическое) про-
странство. Через Xе обозначим пространство всех функций
х(8): ®-+Х. Рассмотрим построение о-алгебры в Xе и меры
на этой о-алгебре так, чтобы можно было определить случай-
ную функцию на вероятностном пространстве с пространством
элементарных событий Xе.

а) Цилиндрические множества и а-алгебры. Пусть
Л а 9 — конечное подмножество, пА — число элементов Л. Обозначим

через РА отображение Xе в ХПА', Р А(х (■)) = (х (8^),..., х (в£д)),
где вf, 1—1,..., иЛ —все точки множества Л. Множества в
Xе вида Р-1 (Впл), где 5„лб^"л, называются цилиндрическими,
А называется основанием цилиндрического множества. Совокуп-
ность всех цилиндрических множеств с данным основанием обра-
зует сг-алгебру множеств, будем обозначать эту о-алгебру <ёА,
Очевидно, если Л1аЛ2, то $Л,с$Л2. Совокупность множеств
и (<§А, где объединение берется по всем конечным подмноже-

ствам Л называется алгеброй цилиндрических множеств, а наи-
меньшая сг-алгебра, содержащая эту сг-алгебру, — цилиндрической,
о-алгеброй, будем обозначать ее %{Х, в). Если в^в, то через
(X, в) будем обозначать наименьшую о-алгебру, содержащую

алгебру и (ёА, Л —конечные множества.

Всякое множество из %{Х, в) порождается с помощью опе-
раций объединения и пересечения из цилиндрических множеств,
причем эти операции применяются не более чем счетное число
раз. Поэтому для любого множества А из Ч£(Х,@) можно указать
последовательность цилиндрических множеств {Ск, к > 1}, из
которых оно получается, и если 0! — такое счетное подмноже-
ство в, что СА6 1) СА, то Ле#й (X, в). Таким образом, ЩХ, 0) =

= и ©й (А^, в), объединение берется по всем счетным подмно-
е,се 1

жествам 6^ Для задания меры на С€(Х, в) достаточно ее задать
на каждой о-алгебре %ь (X, в).

б) Согласованные конечномерные распределе-
ния. Пусть каждому конечному набору (61,62, •■•.8л) отвечает

вероятностная мера р,е,.....ел на &п. Совокупность этих мер

является согласованными конечномерными распределениями,
если выполнены следующие условия:

1) обозначим через Т отображение Xй в Хп: Т (хи ..., хп) =
= (х.1Х{п), где гь ^ — перестановка чисел \,...,п,

тогда не,.....ел(5) = К-,.....Ве^П]

2) если С?(хи ..., хп) = (хи ..., хп_:) отображение X" в
X , то