Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
Кк Ч<6 ' Кк
тельства теоремы достаточно доказать, что теорема справедлива
для п — Очевидно, при фиксированном Дб-5^?, соотношение
Р(Л1ПЛ2)=Р(Л,)Р(Л2) (4)
выполняется на монотонном классе множеств А2. Оно выполнено
при А26^2, а значит, на ст(^2) = ^2. Зафиксируем Л26^2- Тогда
соотношение (4) выполнено на монотонном классе множеств
содержащем поэтому оно справедливо для всех А^МХг
Следствие 1. Пусть «я£,, £Фп; д$ъ ^ — независимые
о-алгебры. Тогда независимы а\\/ и ауу Это вытекает
п т ^
из независимости алгебр V ^ и V и теоремы 4.
1=1 ^-1
1.3. Бесконечные последовательности независимых о-алгебр.
Пусть и =1,2,...,—ст-алгебры событий. Они называются
независимыми, если для всех п ст-алгебры ..., независимы.
Для последовательности алгебр $8п через V $п обозначаем
и
п
и V Як. Это очевидно алгебра, это наименьшая алгебра, содер-
п 6 = 1
жащая все алгебры Яп. Она состоит из конечных объединений
п
множеств вида П Вк, где ВкбЯк, п. — произвольно.
к=\
Теорема 5. Если ^„ — последовательность независимых
о-алгебр, то для всякого я. ст-алгебры $ФХ, ...,зФп, о V £4-к\
независимы.
Доказательство. В силу теоремы 2 для всех т>п не-
т
зависимы алгебры зФъ зФп и V &к- Поэтому независимы
оо т
алгебры зФъ зФ2, ..., и V зФк={] V &к- Остается вос-
*=я+1 т к=п+1
пользоваться теоремой 4.
а) Закон 0 или 1 Колмогорова. Пусть —последо-
вательность ст-алгебр. ст-алгебра П ст V ^к называется остаточ-
п \к=п I
ной. Она характеризует события, которые выражаются через
события из о-алгебр зФъ со сколь угодно большими номерами.
Если интерпретировать номер & о-алгебры зФи как время, а
о-алгебру зФк, как о-алгебру событий, наблюдаемых в мо-
мент то остаточную о-алгебру образуют события, происхо-
дящие «позже» любого конечного момента времени.
Теорема Колмогорова. Если о-алгебры £Фп независимы,
к=п
то для любого Л Є П о V &>к Р (А) принимает лишь два значе-
ния— или 0 или 1 (это означает, что остаточная о-алгебра
тривиальна).
Доказательство. По теореме 5 для всякого п независимы
о-алгебры зФи &2, ■ ■ ■, &п, Пег V (последняя о-алгебра
к=т
содержится в ст V ^кіі Значит, для всех/г независимы алгебры
\к=п+1 "
V &и По V ^* и и V «#/ = \/ Пет V ^Л. Это выте-
1 = 1 т \к=т I п *=1 1=1 т >*=яг '
кает из теоремы 2. Поэтому на основании теоремы 4 независимы
о V и Пет V &к • Если ЛбПст V ^кI то Лбст V &1
4=1 / т \й=т / т \к=т I 4=1
и в силу независимости этих о-алгебр Р(ЛП А) = Р(Л)Р(Л),
Р(Л) = Р2(Л). Теорема доказана. □
б) Теорема Бореля— Кантелли. Нижеследующее
утверждение относится к бесконечной последовательности со-
бытий и для случая независимых событий дает необходимые
и достаточные условия того, что среди этих событий с вероят-
ностью 1 происходит конечное число. Пусть А— некоторая
последовательность событий. Событие, заключающееся в том,
что произошли события А со сколь угодно большими номера-
ми (это эквивалентно тому, что среди событий А произошло
оо
бесконечное число), представимо в виде П и А* Обозначим через
п к==п
оо
о-алгебру, состоящую из событий й, А.&\ А. 0. Тогда П I) Аб
п к=п
б Пег \/ з&к • Если события А независимы (т.е. независимы
п \к=п I
(А, Ап для всех п), то независимы о-алгебры $4>ь. Поэтому
в силу закона 0 или 1 в этом случае р( П и АЛ равно 0 или 1.
\ п к—п I
Теорема Бореля —Кантелли. 1) Если 2 р (А) < 00.
то р(п U А) = 0; 2) если события А независимы и ]£р(А) =
п Ъ=п
= + оо, то р П П А =L
\ п k—n I
Доказательство. 1) Каково бы ни было т,
п к=п i \к=гп
р п и А <р и А < 2 р(л*)
к=т
и правая часть стремится к нулю.
2) Заметим, что события Й\А также независимы. Имеем
п и А =1-Р и n (Q\A)|-
> п k=n I \ п к= п
Тогда
р и п(й\А) =limP n(Q\A) =lim limP n (Q\A) =
V n k=n I n^-ca \k-=n ' n->-oo m^oa \*=/z /
m
= lim lim П(1-р(А)) = Нт11(1-р(А)) = 0,
m—co k=n k=n
поскольку в силу расходимости ряда 2р(А) для всех п
оо
П(1-р(А))=0. □
к=п
1.4. Независимые случайные величины. Пусть (Хп, $п) —
последовательность (конечная или бесконечная) измеримых про-
странств, 1п(а>) — случайный элемент в (Хп, ШЛ, заданный на
вероятностном пространстве {Q, р}. Обозначим через Л\п
ст-алгебру событий вида {a>:g„(cü)6ß„}, Вп£Шп (это о-алгебра,
