Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
2 Ь^{|!*|<с}.
Остается воспользоваться утверждением 2) теоремы 1. □
2.4. Усиленный закон больших чисел. Закон больших чисел
устанавливает условия сходимости по вероятности разности
между средним п случайных величин и средним их математи-
ческих ожиданий. Если вместо сходимости по вероятности рас-
сматривать сходимость с вероятностью 1, то соответствующие
теоремы называются усиленным законом больших чисел
(у. 3. б. ч.).
Теорема 1. Пусть |й — независимые случайные величи-
ны, для которых существуют М|й и Щъ.. Если 2(1/&2)в1й<
<°0, то
Р|нт 12(£*-м!*)==о)=1.
Доказательство. Можем считать, что М|й = 0. Положим
ti„ = sup
т<2п
6=1
Тогда при 2" < т < 2"+1 выполнено неравенство
^2
*=1
;2""ri
га+1'
Достаточно показать, что с вероятностью 1 Пт2 "Т]и = 0. Для
этого достаточно, чтобы для каждого е>0 сходился ряд
2 Р {2~пЦп > е}, так как тогда в силу теоремы Бореля — Кантел-
ли с вероятностью 1 найдется такое ТУ, что 2_'гг]п < е при п> N.
На основании неравенства Колмогорова
2 Р К > 2ие} < 2 е~22"2" 2 =
п п к<2п
СО ОО
=е^2 2 2-2«=о(б-2)2^<оо. □
6=1 п>1оцгк 6=1
Теорема 2. Пусть \к — последовательность одинаково рас-
пределенных независимых случайных величин. Для того чтобы
существовала такая постоянная а, что
(6)
р 1^2>=*И
л-*» 6=1
необходимо и достаточно, чтобы существовало М^, при этом
Доказательство. Пусть для некоторого а выполнено (6),
тогда Р (lim — £„ = о] = 1. Значит, на основании теоремы Боре-
ля — Кантелли 2 Р {| ^л >с|<оо, с>0, так как события
| jy in | > с| независимы и среди них происходит только конечное
число. Поэтому
M 11,1 < 2 MI <ы =c^,kP\(k-\)c<\lx\<kc\<
CO
<c 2p{l£ll>^}<00•
ft=l
Пусть M|g, |< со. Можно считать, что Mgj = 0. Положим ln =
= |и/{|1л|<л}, i;=|B-g;. Тогда
и, значит, начиная с некоторого номера 1"п = 0,
рЦ^-2б;-о) = 1. (7)
Для величин 1'п выполнены условия теоремы 1, так как
со со
Л = 1 Л-1 |Х[<Я
со
= $ 2 5 Vi<»}p i^x}<c, I I * I P {ii€^}= I |i |,
где сг — sup I x I 2 re_2- Значит,
л
1
ft=l
а так как
n
Л->-оо j
то и
п п
р(ит^2Б;-°1=1- (8>
(л-*оо« й=, ]
Из (7) и (8) вытекает, что выполнено (6) при а=0. О
Наиболее важным следствием теоремы 2 является следую-
щее уточнение теоремы Бернулли.
Следствие. Если Ап — последовательность независимых
событий, для которых Р(Лп)=р и уп — число событий, проис-
шедших в цепочке А\, ..., Ап, то
— частота стремится к вероятности с вероятностью 1.
72
Заметим, что тем не менее попытка определить вероятность
как предел частоты (аксиомы Мизеса) оказывается логически
несостоятельной.
§ 3. Случайное блуждание
Пусть |2> •••> Ей, • • • —последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин. Последователь-
п
ность £0=л:, £„ = -^ + 2?*' ге=1, 2,..., называется случайным.
блужданием, х называется начальным положением, |й — А-тым
шагом блуждания, £п — положением в момент п (после п-го
шага). Обычно случайное блуждание интерпретируется как
движение частицы независимыми случайными шагами. Это
один из простейших случайных процессов с дискретным време-
нем. Обычно интересуются поведением этого процесса на бес-
конечном временном промежутке.
3.1. Схема восстановления. Пусть х=0, Р{^>0}=1. Соот-
ветствующее случайное блуждание обычно интерпретируется
следующим образом. Пусть имеется прибор, работающий слу-
чайное время. Как только он выйдет из строя, он заменяется
идентичным и т. д. Если 0 — момент включения первого при-
бора, |, — время его работы, £„— время работы п-го прибора,
то естественно считать, что \к независимы и одинаково распре-
делены. Момент £п = £1+. ■ — время окончания работы
гс-го прибора (и включения п+1-ого) называются моментами
восстановления.
Обозначим через \>(/) номер прибора, работающего в мо-
мент v(0==я, если £я-1^^<£п- Функция Ы(Ь)=Ж\(1) назы-
вается функцией востановления. Основные результаты в тео-
рии восстановления (так называется раздел теории вероятно-
стей, изучающий процесс у(0) относятся к изучению асимпто-
тического поведения функции А^(Т). Обозначим через £(Я) =
= Ме_ш преобразование Лапласа величины |ь Легко видеть,
что
