Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

/(Ф)= |е<'<"^>р(х). (2)

Легко проверить, что /(ф) удовлетворяет следующим условиям:

1) Дф)—положительно определенная функция, /(0) = 1;

2) / (ф) непрерывен по ф на каждом конечномерном подпро-
странстве АаХ*. Справедливо и обратное: если функция / (ф)
удовлетворяет условиям 1) и 2), то существует слабое распреде-
ление р, для которого выполнено равенство (2). Построение р.
можно осуществить следующим образом. Пусть Л —конечномер-
ное подпространство в X*, %, ф„ —базис в Л. Положим

/Л (2*1, 0 = /^2**Ф^- Функция /л(*ь • ••,*„) непрерывна

и положительно определена, поэтому по теореме Бохнера су-
ществует вероятностная мера в %п — \1л@х) такая, что

/А(/„ ^) = |ехр {'21*л№/), У=°(у\ ...,Ул)е/?л. По-
ложим ФА:Х-+Цп, ФЛ (л) = (ф1(л), ф„(д:)) и для Де#Л«

р (Фл1 (В)) = \1А (В). Так определена мера на $к. Используя то,
что если Ас Л, и базис в Л1 будет Ч\(х), ...,ф„(х),

Фя+1(-«), • • •, ФтИ, то

/л(*ь *я)=/лЛ*„ ...,*„, 0, ...,0),

можем убедиться, что значения р на 33А и 31Кх согласованы и
что значение меры не зависит от выбора базиса. То, что для р
выполнено (2), вытекает из построения (рд сразу строилось
с помощью теоремы Бохнера).

Вопрос о продолжимости р, как счетно аддитивной функции

на 3§ опять сводится к проверке непрерывности ]г на алгебре 380.
Приведем один общий результат о возможности продолжения.

Теорема. Пусть для всякого е>0 можно указать после-
довательность слабо замкнутых цилиндрических множеств Кп>
таких что [х(Кп)> 1 — е, Кп^Кп+ъ Г\Кп — слабо компактно.
Тогда ц. продолжается до меры.

Доказательство.^ Пусть Впв330, Вп^>Вп+и ц(Вп)>Ъ.
Если Вп = Фа1(Вп), где Вп£33кп, можем выбрать так замкнутое

множество РпаВп, чтобы цАп (Вп\Рп) < б/2л+1. Положим Р„ —

_х ~ - п . .

= Фл„(/7„), /ги= П Рк- Тогда Рп — слабо замкнуты Рп^с:Рп,

к=\

Н(/"„)>6/2. Пусть Кп — такая последовательность, что условие
теоремы выполнено при е<6/2. Тогда множество КпС\Рп—
цилиндрическое непустое замкнутое множество с основанием Л„.
Не ограничивая общности можно считать, что Рп и Кп цилинд-
рические множества с одним и тем же основанием Л„. Из условия
на Кп вытекает, что П (Д'лП^л) непусто.

п

4.4. Теорема Минлоса—Сазонова. Пусть X — сепарабельное
гильбертово пространство, отождествим X* с X, задавая линей-
ные функционалы с помощью скалярного произведения, пола-
гая ср(х) = (ф, х), у&Х. Введем в X топологию 5: X — линейное
топологическое пространство с окрестностями нуля вида Уд =
= {х : (Ах, х)<1}, где А — неотрицательный симметричный опе-
ратор с конечным следом: если {е&}— базис в X, то эрА =
= 2(Лбй, ей) <оо. Очевидно этот набор окрестностей опреде-
ляет отделимую топологию.

Теорема. Пусть /(ф), ц>^Х, — непрерывный положитель-
но определенный функционал, /(0) = 1. Он является х. ф. веро-
ятностного распределения в X тогда и только тогда, когда
Ке/(ф) непрерывно в точке ф=0 в топологии 5.

Доказательство.

Необходимость. Пусть р„ — вероятностная мера на
X. Тогда

1 —Ие/(Ф) = ^(1 — сое (<р, *)) и (<.*)< 2 | и (<*■*) 4-

1*1 >р

икр

Положим (Лрф, ф)= J (ф, х)2 Ц (йх), Лр — симметричный неотри-
|*1<р

цательный оператор. Тогда

5р л = | 2 х)21* < р2-

]Х]<р й=1

Возьмем произвольное е > 0, выберем р так, чтобы

| р(йх)<е/4 и обозначим В = —Лр. Тогда при (5<р, ср) < 1
|*|>р

будет (Лрф, ф)< 8/2

1 - 1?е / (ф)< е/2 + 1 /2 (Лрф, ф) < е.
Достаточность. Зафиксируем базис {ек}. Положим

К„(р) = \х:^1(х, ек)2 < р2\. Очевидно ПАГ„(р) есть шар в X

радиуса р, он слабо компактен. На основании теоремы предыду-
щего пункта достаточно показать, что для всякого е > 0 можно
выбрать так р, чтобы р(/Сл(р))>1—в для всех п. Здесь
р —слабое распределение, построенное по функции /. Восполь-
зуемся равенством

ехр| —12(-*' е*)2| =

= (2^)-"/21 ехр |» 2 ** (*, е*)} ехр { - ^ 2 '*}
Интегрируя по мере, р, получим

\ [\-ехр |- |2 (■*> е*)2|^ Й^) =

= (2я*,Г"2\ [\-1?е/ (24, ехр{-^2'*}^1 • • • Мя.

Если Л — такой ядерный оператор, что 1 — Ке/(ф)<е/4 при
(Лф, ф)<1, то правая часть оценивается величиной

(2яЛГ"/21 ^е/4 + 2 ^Л 2 2 е*Р {-21 2'*}^ • •'

... <*/„=.е/4 + 2а, Бр Л.

Значит,

р(/с;„(р))(1-ехр{-^Р2})<
< | ^ 1 - ехр { - 2 (■*. ек)2^ р (йл:)< е /4+21 Бр Л.

Пусть Я = 8/8 Эр Л. Тогда И#я(р)<£(1—е-гр,)-1<е, если
Хр2< 1.