Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

.....еп(ви ..., в„)=р(Д К*(в*, <о)ея*^в (6)

определенные для всех п^\, 0^66, й^тг, Ви&$, й^тг. Зная ко-
нечномерные распределения, мы можем судить о совместном
поведении значений случайной функции на любом конечном
(а значит, и счетном) множестве параметрического простран-
ства. В принципе это дает возможность узнать «все» о слу-
чайной функции, более точный смысл этого утверждения про-
яснится в § 4 и далее в главе 4. При заданном п и
0ь .. ., 0П функции (6) определяют меру на (хп, $Зп) — совмест-
ное распределение значений случайной функции в точках
01, ..., 0„. Совокупность функций (6) при заданном п назы-
вается п-мерными распределениями случайной функции. Ко-
нечномерные распределения удовлетворяют условиям согла-
сования:

1) если и,..., 1П — перестановка чисел 1,..., п, то

•Ре,.....е„(5ъ • ■ Вп) = Г"в^.....6,^(5,,, ...,5,л);

2) Рв1,...,вп_г,вп(Ви ..., Вп_и Х) = Ев,.....еп^(Ви ■■■,Вп_1).

б) Моментные функции. Задание всех конечномер-
ных распределений конструктивно невозможно. Поэтому ис-
пользуются другие характеристики случайных функций, в част-
ности моментные функции. Пусть Х=/?1. Предположим, что
для всех 066 М|х(0, со) |т<оо, т — натуральное число.
Функция

МЛ(8Ь ...,е*)=Мх(81,а>)х(б2,со) • • ■ *(6*. со), к^т, (7)

называется к-ой моментной функцией для случайной функции
х(В, со), 1-ая моментаая функция Мх(0) =Мх(8, со) называется
еще средним значением случайной функции, а функция

/г (в1, е2) =м2 (9Ь е2) -м, (в,)М, (в2) =

= М(*(8Ь со) -Мх(6ь со)) (*(82, со) —Мх(82, со)) (8)

— корреляционной функцией. Во многих прикладных задачах
довольствуются лишь знанием этих двух характеристик слу-
чайной функции, следует отметить, что с их помощью удается
решать целый класс задач теории случайных процессов (ли-
нейные задачи). Очевидно, что в качестве среднего значения
может выступать любая функция А!х (9). Функции М2 (61,62) и
#(01,62) положительно определены: каковы бы ни были
к, 8Ь . . . , б^бв, комплексные числа ги . . . , гк,

к к

2 М* (8„ 9;) 2,2у > 0, ^ Я (6/, 6;) 2,2, > 0 (9)

(г — число, сопряженное 2). Первое из неравенств (9) вытекает
из соотношения

к 1 к

2 Л*2(е„еу)2,г;=М 22'л:(еь(й)
/.;=.! /-1

Если Х = Кп, у^Х, М|л:(е, со) |™<оо для всех 66в, моментная
функция порядка к определяется так:

Мк(Ви ..., дк, уи . . . , ук\ = Щх{Ви со), ух). ..

...(х(в,<й),ук), (10)

это ^-линейная функция по у\, .. ., ук. Первые две моментные
функции определяются так

М,(е,г/) = (Мх(е, со), г/),
М2 (8,, 62, уи у2) = (В (8Ь в2)уь г/г) —Л!, (8,, г/0 М, (82, Уч),

здесь В (8ь 92) — функция на 9, значениями которой служат
симметричные операторы в /?п, она называется операторной
корреляционной функцией случайной функции х(8, со). Очевид-
но Мх(8, со) опять может быть произвольной функцией. Опера-
торная корреляционная функция положительно определена: ка-
ковы бы ни были 8ь . . . , 8й и УгбХ, 1=1, . . . ,

к

в) Гауссовы случайные функции. Пусть Х=Яг.
Случайная функция х(8, со) называется гауссовой, если каковы
бы ни были п, 8ь ..., 8пбв и числа Я,ь ..., Я„, величина
2 Ь,кх(дк, со) (это числовая случайная величина) имеет нор-

мальное распределение, т. е. имеет плотность вида (1) с неко-
торыми а и Ь>0 (или с вероятностью 1 совпадает с некоторой
постоянной (считаем, что в последнем случае 6 = 0)). Это опре-
деление эквивалентно тому, что для всех п, 8ь . . . , 9те величи-
ны х(8ьсй), х(8„, со) имеют совместное п-мерное нормаль-
ное распределение (невырожденное распределение задается
плотностью (4), общее нормальное распределение может быть
получено из невырожденного с помощью предельного перехо-
да). Для того чтобы определить совместное распределение п
гауссовых случайных величин достаточно задать математиче-
ские ожидания этих величин и совместные корреляции (5).
Поэтому для задания конечномерных распределений гауссов-
ской случайной функции достаточно задать ее среднее значе-
ние и корреляционную функцию:

а (в) = Мх(9, со),
Я(е,, 92) =М(*(8Ь со)-а(еО) (*(62, а>)—а(62)). (И)

3.3 Случайные элементы в линейных пространствах. Пусть
X — некоторое линейное пространство, Ь — некоторое линейное
множество линейных функционалов на X (т. е. линейных ото-
бражений X в Я). Будем считать, что функционалы из Ь раз-
деляют точки из X. Обозначим через !%ь наименьшую а-алгебру
подмножеств X, относительно которой измеримы все функцио-
налы из Ь. Будем рассматривать (X, $ь) как измеримое про-
странство, нас будут интересовать случайные элементы в этом
пространстве и их распределения. Если X — линейное тополо-
гическое локально выпуклое пространство, то в качестве Ь бе-
рем X* — пространство всех непрерывных линейных функцио-
налов, если X — сепарабельно, то 38ь совпадает с а-алгеброй
борелевских множеств X — Шх- Наиболее интересен случай,
когда X — сепарабельное банахово пространство, в частности —
гильбертово. Основной вопрос — задание вероятностных распре-
делений на (X, $ъ). Ниже будет рассмотрен способ задания
вероятностного распределения его преобразованием Фурье —
характеристическим функционалом. Этот способ широко ис-
пользуется и для конечномерного пространства и мы его под-
робно обсудим и для этого случая.