Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

И-*-оо

М/а, (|„)<е. Увеличивая а, можно добиться, чтобы и для конеч-
ной СОВОКУПНОСТИ %х, ...,1т быЛО MgЛ:/{|ft>aJ<e,

Кроме рассмотренного выше пространства со сходимостью
по вероятности, в дальнейшем будем использовать простран-
ства ЪР(£1,Р) функций £(со), для которых / \1\рс1Р<°°, с
нормой ||£Нр=( / \ t\PdPy*.

Особый интерес представляет пространство Ь2(£2,Р), кото-
рое является гильбертовым пространством со скалярным про-
изведением <|, т)> =М|т|.

§ 3. Случайные отображения

3.1. Случайные элементы. Пусть (X, <%)— измеримое про-
странство. Рассмотрим измеримое отображение (О, з£) в
(X, 38), *=/(<»), т. е. такое отображение, что /_1(В) =
= {ш бВ}б^ для всех В£<%. Оно называется случайным
элементом в X, X—фазовое пространство этого элемента.
0-алгебра вида {х(со)бВ}, В&& называется сг-алгеброй, порож-
денной случайным элементом х(со), будем ее обозначать
о(х(ш)), а мера на ^цх(В) =Р({со : х(ш)бВ}) — распределе-
нием случайного элемента х(а).

Если рассматривать только случайный элемент х(а), то
естественно вместо исходного вероятностного пространства
рассмотреть его образ при отображении х(а), это будет также
вероятностное пространство (X, Я, цх), X выступает в качестве
пространства элементарных событий, Я—сг-алгебры событий, а
\х,х— вероятности. Заметим, что новое вероятностное простран-
ство описывает эксперимент, заключающийся в «измерении ве-
личины

а) Случайная величина. Если X — вещественная
прямая Я, 9И=$п — сг-алгебра борелевских подмножеств Я, то
х(со)—числовая случайная величина. Рассматривая эту вели-
чину саму по себе, мы можем считать, что случайный экспери-
мент состоит в измерении этой величины. Тогда он описывается
пространством цх), где р,ж— некоторая вероятностная

мера на прямой. Обычно она задается с помощью функции
распределения

^(/)=М]-оо,1[)=Р({х(со)<0).

Эта функция однозначно задает распределение цх: если
две меры совпадают на интервалах вида ]—оо, то они сов-
падают на алгебре, порожденной этими интервалами, а зна-
чит, и наименьшей сг-алгебре, содержащей все такие интерва-
лы, т. е. на 3§н. Приведем примеры распределений, которые
часто встречаются в теории вероятностей и ее приложениях.

Дискретным распределением называется мера,
сосредоточенная не более чем на счетном множестве.

1. Биномиальное распределение. Пусть 0<р<1,

п

И) = 2 0-/>)"""*•

оо

2. Распределение Пуассона: а>0, ц^(А) = 2 I а{к,)аке~а1к\

*=о

Эти распределения встречались при рассмотрении схемы
независимых испытаний. Первое — есть распределение числа
появлений события, имеющего вероятность р, в п независимых
испытаниях. Второе — появилось в предельной теореме Пуас-
сона.

Приведем еще один пример, связанный со схемой незави-
симых испытаний. Предположим, что испытания продолжаются
до тех пор, пока не произойдет событие А. Вероятность того,
что событие А впервые произойдет во время п-го испытания,
равна (1—р)п~1Р-

3. Геометрическое распределение. Пусть 0</?<1,

оо

И* {А) = 2 Р(1-Р)*/а(А).

Непрерывные распределения. Так называются
распределения, не имеющие атомов. Соответствующие функции
распределения непрерывны. Если распределение абсолютно
непрерывно относительно меры Лебега, т. е.

и* (А) = \ / (у)йу,

а

то Цу) называется плотностью распределения.

4. Равномерное распределение на множестве Се^я — это
распределение с плотностью 1с{у) ■ {пг(С))'х, здесь пг — мера
Лебега. Само распределение имеет вид ]хх(А) =
= (пг(С)^)т(С[\А), считаем т(С) <оо. Если С=[а,Ь], то
получим равномерное распределение на [а, Ь], его плотность

(Ь—а)-1.

5. Показательное распределение — это распределение с
плотностью =Хе_*,г/{(>0), где %>0 — параметр показатель-
ного распределения. Показательное распределение появляется
в экспериментах при наблюдениях «редких» событий, когда
применима теорема Пуассона. Обычно параметр а в теореме
Пуассона (п. 1.3) пропорционален времени: а=Ы. Вероятность
того, что «редкое» событие за время Ь ни разу не произошло,
равно е-а = е~ч. Поэтому если т — момент, когда ожидаемое
событие наступит впервые, то р{т^} = е_"'' (слева стоит ве-
роятность того, что до момента \ событие не произошло).
Функция распределения величины т будет /\(£) =

= (1—е_м)/,г>0). Показательное распределение всегда появ-
ляется, когда рассматривается «время ожидания» некоторого
события. Предположим, некоторая система самопроизвольно
скачком меняет свое состояние (скажем, нейтрон превращается
в протон). Обозначим вероятность того, что система за время t
не изменила состояние, через g(t). Обозначим At событие, со-
стоящее в том, что в течение времени t состояние системы не
изменилось. Тогда условная вероятность события At+S (что
еще время s не будет изменения состояния после того, как его
не было до момента t) при условии At должна совпадать
просто с вероятностью того, что за время s система не изме-
нила состояние. То есть