Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

g(t + s) = g(t)g(s).

Так как O^g^l, то g — монотонно не возрастает, g(t-\-) —
= g(t)g(0+), поэтому g(0+) есть 0 или 1. В первом случае
g(t)=0 для всех t>0. Во втором g(t)>0 для всех г>0, так
как g(2t)=g2(t). Следовательно, lng(t)— аддитивная мо-
нотонная функция: In g(t)= е~н, X^zO, g(t) =е~ч.

6. Нормальное (гауссово) распределение. В теореме
Муавра—Лапласа появилась функция cp(x) = (2я)~1/2е~*2 /2. Она
является плотностью распределения: cp(x)>0 и / ср (x)dx= 1.
Точно также плотностью распределения будет и функция

g(a, b, *) = (2яй)-]/2ехр {-^=^}. (1)

Распределение с плотностью (1) называется гауссовским
(нормальным), параметры а и Ь выражаются через распреде-
ление по формулам:

а= Sxg(a, b, x)dx, b = i(x—a)2g(a, b, x)dx. (2)

Формулы (2) имеют следующую интерпретацию. Пусть \ —
случайная величина, имеющая распределение с плотностью
g(a, Ь, х). Тогда a=Mg, b=M(l—а)2=Щ.

Таким образом, а — это математическое ожидание случайной
величины с плотностью g(a,b,x), a b — ее дисперсия.

б) Случайный вектор. Пусть теперь X=Rn (т. е. про-
странство векторов (х1, х2, . .., хп)). Тогда отображение х(со)
определяет случайный вектор х(а) = (I1 (со),. . . , |" (со)). Зада-
ние случайного вектора эквивалентно заданию его координат,
т. е. заданию п числовых случайных величин. Распределение
случайного вектора — вероятностная мера на ст-алгебре бо-
релевских множеств Rn — оно называется также совместным
распределением случайных величин |'(со), ...,!"(©) и пол-

ностью определяется совместной функцией распределения ве-
личин еЧ»). ■ • •.

.....5«(Л, 4) = Р(д1{со:^(со)<^}). (3)

Иногда удобнее рассматривать X без фиксированного базиса
(просто как и-мерное эвклидово пространство). Для задания
случайного вектора можно задать его координаты в некото-
ром базисе, координаты в любом другом пересчитываются по
известным формулам. Распределения в ^п будем называть
также га-мерными распределениями. Если распределение абсо-
лютно непрерывно относительно меры Лебега в /?и, то его
плотность называется плотностью распределения. Пусть т —
лебегова мера в Ип.

1. Равномерное распределение в С. Если С — борелевское
множество в /?", т(С) <оо, то1

11(В) = (т(С))-'т(В[]С)

есть равномерное распределение в С, оно имеет плотность
ф(*)=/с(*) (т(С))-\ хбЯ".

2. Гауссово (нормальное) распределение в Яп. Пусть
а£Р.п, В — положительная симметричная матрица, В-1 — об-
ратная к ней. Распределение с плотностью

ёп{а, В, х^^Тб^ВУ^&ар^-^Вг^х-а), х-а)} (4)

называется га-мерным гауссовым распределением. Если Ь1} — эле-
менты матрицы В~г, а = (а1, а"), то в показателе экспоненты

п

в (4) стоит выражение 2 Ь1](х1~а1)(х>— а>). При этом

а1= / х^п (а, В, х) йх,
а элементы Ь{} матрицы В определяются равенствами
6гу = | (х1 — а%х1 — a')gn(a, В, х) йх.

Если (\х, |2,..., |")—случайный вектор, имеющий плотность
распределения (4), то

а'=МГ, Ьи=М(Г-МГ)(^-МГ). (5)

Для произвольного вектора (Е1, б2, Ел), для которого

п

М(|')2< 00 вектора М| а = (М|\ ..., М£л) называется матема-
1

тическим ожиданием (средним значением), а линейный опера-
тор В, действующий в Яп с матрицей (Ь,-,-), где Ьц опре-
деляется формулой (5), называется корреляционным.

Если |(со)—случайный вектор в га-мерном евклидовом про-
странстве X (в пространстве не выделен базис), то при
М| \ (со) |2<оо среднее М|(со) определяется из равенства

М(£(со), г) = (М| (со), г), которое должно выполняться для
всех гбХ, а симметричный оператор В — из равенства
(Вг,и)=ЩЪ{в>)—Щ(е>),г) (|(<о) — м|(ш), и), и, г^Х (справа
стоит билинейная форма, поэтому такой оператор существует).

3.2. Случайные функции. Пусть в — некоторое множество
(параметрическое пространство), (Х,$)—измеримое простран-
ство (фазовое пространство). Случайная функция с областью
определения в и фазовым пространством (X, — это семей-
ство отображений л:(0, со) вероятностного пространства
(£1,з£,Р) в (Х,38), определенных для всех 066. Другими сло-
вами,— это функция х(д, со) : вХ£2-»-Х, причем для всех 066!
отображение х(д, со) : &)-*-{Х,измеримо. Если в —
множество на вещественной прямой, то параметр 8 трактуется
как время, случайная функция в этом случае называется слу-
чайным процессом. Обычно рассматриваются случайные функ-
ции— вещественные (Х=Я), комплекснозначные (Х=Ъ —
комплексная плоскость), векторные (Х=Яп или Х=1п). Если
6 = /?™, то употребляется еще термин случайное поле.

а) Конечномерные распределения. Одной из
основных вероятностных характеристик случайной функции яв-
ляются ее конечномерные распределения