Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

а) Характеристическая функция случайной
величины и случайного вектора. Пусть \— чис-
ловая случайная величина. Функция МО =Мехр№Я на-
зывается характеристической для величины (или для ее рас-
пределения). Укажем некоторые свойства характеристической
функции (х. ф.).

1) Она равномерно непрерывна по Ь, /5(0) = 1.

2) МО —положительно определена: каковы бы ни были т,

. . . , ^,„6^, Х\, . . . , 2т^Ъ
т

2 !г(1ъ-1^гиг1>Ъ. (12)

Теорема Бохнера. Если функция f(t) непрерывна,
положительно определена и /(0) = 1, то f(t) = / eitx\a(dx), где
ц — вероятностная мера на R, т. е. / — х. ф.

3) Характеристическая функция определяет распределение
случайной величины. Чтобы убедиться в этом, введем понятие
тотального множества функций. Множество непрерывных
функций F называется тотальным, если, каковы бы ни были
две различные вероятностные меры р.) и \i2 на R, найдется та-
кое f&F, что / fdy.2- Чтобы убедиться в справедливости
3), достаточно установить, что множество функций {eitx, №R}
является тотальным. Но это вытекает из того, что для всякой
непрерывной ограниченной функции cp(x) можно указать такую
последовательность тригонометрических полиномов gn(x), для
которой

sup|g-„(x)|< оо, lim sup\gn(x) — f(x)\ = 0.

n,x n->oo |x|<re

Пусть теперь l ={E\ i") — случайный вбктор. Характе-
ристической функцией этого вектора называется функция fi(t) =

= Mexp{/(g, t)}, t£Rn, (l, 0 = 2 гДе t^{t\ ...,tn). Она

также называется совместной х. ф. величин g1, . .. , Ъ,п или га-
мерной х. ф. Для многомерных х. ф. справедливы утверждения
1) —3). (Положительная определенность в этом случае также
определяется неравенством (12), только ti, tmGRn).

Теорема Бохнера остается справедливой и в многомерном
случае.

б) Характеристический функционал. Пусть
— вероятностная мера на (X, <%ь). Характеристическим функ-
ционалом меры \х называется функция

ФЛ0= j exp{il(x)}n(dx). (13)

Если р. — распределение случайного элемента х(со), то фД/) =
= Мехр{И(х(ы))}, срЛО называется также характеристическим
функционалом х(а). Отметим основные свойства ф„(/).

1) фДО слабо непрерывно по I: если ln{x)-+l(x)Vx, то

фДМ^фЛО; фД0) = 1.

2) фД/)—положительно определенная функция: каковы бы

ни были Ш, 1\, . . . , ImßL, Zu . . . , Zm£Z

m

2 ^(h — lj)zkzJ>0,
k,i=\

3) фДО однозначно определяет меру и.. Это утверждение
вытекает из того, что всякая ^-измеримая ограниченная функ-
ция g(x) является пределом ограниченной в совокупности по-
следовательности функций вида

4—2550 5

49

ёл (х)=2 с«* ехР {ипь (■*)}.

к

ГДе Спъ&, ^ I Спк | < °° , ^л*б£.

Теорема Бохнера для бесконечномерного X, вообще говоря,
не верна. Однако можно указать такое X, для которого она
сохраняется. Пусть Х=^~, т. е. элементы Х-последовательно-
сти х=(х\ х2, хп,...), х{&Я. В качестве Ь рассмотрим
совокупность всех функционалов вида 1(х) =Ъакхк, где среди
чисел а^б/? лишь конечное число отличных от нуля. В этом
случае а-алгебра 33ь совпадает с наименьшей а-алгеброй, со-
держащей множества вида {х : хйбД}, где А — интервал на
прямой. Эту ст-алгебру естественно обозначить ^л°°-

Теорема. Пусть ср(/)—функция на Ь, удовлетворяющая
условиям: 1) она непрерывна и ср(0) = 1, 2) она положительно
определена. Тогда ср(/) есть характеристический функционал
некоторого распределения на $н°°.

Примером бесконечномерного линейного пространства X,
для которого теорема Бохнера не верна, служит сепарабельное
гильбертово пространство, если в качестве Ь взять Х* = Х.
Этот факт будет рассмотрен в следующем параграфе.

Мы рассмотрим вероятностные пространства, в которых
пространство элементарных событий Й имеет конкретный вид.
Будем описывать а-алгебры в этих пространствах и способы
задания меры на этих о-алгебрах.

4.1. Конечномерное пространство. Такое пространство уже
рассматривалось при определении случайного вектора. В каче-
стве а-алгебры выбирается борелевская а-алгебра. Мера опре-
деляется функцией распределения. Нетривиальным утвержде-
нием является то, что всякая функция распределения определя-
ет некоторую меру. Здесь этот факт и будет установлен. Дадим
сначала определение функции распределения.

Определение. Функция Р(хи х% хп), определенная
на Яп и принимающая значения из [О, 1], называется я-мерной
функцией распределения, если она удовлетворяет условиям

1) 11т Р(х\ .. ., х") = 0, Нт Г(х\ .. ., хп)= 1,

2) для всех Я1 >0, ..., А„>О Д^ ... Д^(х\ ..., хп)>0,
где для функций (7(х1, . .., хп), определенной на