Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 3
НЕЗАВИСИМОСТЬ
Независимость — одно из основополагающих понятий тео-
рии вероятностей, изучение независимых событий, величин,
случайных элементов, о-алгебр составляет в значительной сте-
пени содержание теории вероятностей. В этой главе изложены
основные понятия и факты, относящиеся к независимости, а
также рассмотрены последовательности независимых событий
и величин и связанные с ними случайные процессы.
§ Г Независимость о-алгебр
1.1, Независимые алгебры. Напомним, что алгебры
зФ\,...,зФп называются независимыми, если, каковы бы ни
были события А\^М\,..., Ап£$Фп, выполнено соотношение
р(пл)=Пр(А) (1)
г' = 1
1 = 1
(см. гл. 2, § 1.2).
Пусть $Фи 1 = 1, / — конечные алгебры, А[1\ Ан-
атомы алгебры
Теорема 1. Для того чтобы алгебры зФ^ были независи-
мы, необходимо и достаточно, чтобы для любых А.-^п,- выпол-
нялось соотношение
п4?) = Пр(4?). (2)
Доказательство. Необходимость очевидна. Доста-
точность легко доказать по индукции, используя следующее
очевидное утверждение: если события А и В независимы, А
и С независимы и В[\С=0, то А и В[]С также независимы. □
Заметим, что в силу равенств ^ р {Ак)) = 1,
*= 1
"I
2 (А(ь1) п Ау1)) = р (А/1') и подобных им, основанных на том, что
6=1
п1
У А£° = й, среди равенств (3) щп2 ... щ — щ— ... — «, + /—-1
6=1
независимых. Так как алгебра зФ{ содержит 2"' элементов, то
в (2) будет 2"1+,-+"' равенств. Как показывает теорема, лишь
tii .. . ne—ri\ — .. . — Пе~{-1— 1 из них независимы.
Замечание. Всякая алгебра зФ есть объединение своих
конечных подалгебр: если А^зФ, то А входит в алгебру, состо-
ящую из 4 элементов {0,A,A,Q} (если Л = 0 или A = Q, то
указанная алгебра состоит из двух элементов {0, й}).
Пусть зФ, 31 — алгебры. Через зФ\/3§ обозначим наимень-
шую алгебру, содержащую зФ и Jf. Алгебра зФ\/Ш состоит из
множеств вида
U (АкПВк),
где АфзФ, Bk^fM, п — произвольно. Если зФ и — конечные
алгебры, Ak, Bt — их атомы, то Ahf]Bt будут атомами алгеб-
ры зФ\1$. Аналогично, если зФк, k= 1,п — некоторые ал-
п
гебры, то у зФк — наименьшая алгебра, содержащая
зФ\, зФ2, • • • , зФп- Она состоит из множеств вида
т / п \
U f] Aki\, Ак£зФь т — произвольно.
ft=lu = l i
Пусть зФ*азФь \js^t = sf-t, зФ* — конечные алгебры, «е/,
а
где / — некоторое множество индексов. Тогда
V U V (3)
( = 1 «^/.....o^g/i^l
Это дает возможность в следующих двух теоремах проводить
доказательство только для конечных алгебр.
Теорема 2. Пусть зФи зФ2, ..., зФт; J?,, J?2) ^„ — He-
rn
зависимые алгебры, зФ = \/ зФк. Тогда алгебры зФ н Jfb Шп
также независимы.
Доказательство. Можем считать, что все алгебры конеч-
т
ны. v s&k — также конечная алгебра, ее атомы имеют вид Ajfl
П А2... f[Am, где Л; —атом зФ,. Если B&9Sk, то
р ((дi л,) п (д я,))=Пр (Л)-П р (s,)=p (д а.)-р (д 5/).
Поэтому независимость алгебр вытекает из теоремы 1. □
Теорема 3. Пусть зФи зФ2, ....^„ — алгебры событий. Они
независимы тогда и только тогда, если для всех i независимы
алгебры и V -я^й.
Доказательство. То, что указанные алгебры независимы,
&сли независимы &х, ..., з£п, вытекает из теоремы 2. Пусть
л—1 л—1
выполнено условие теоремы, Л(б^;. Так как П Аб\/ «^м то
*=1 *=1
р ((л!а*)п л*ьр (л!л*)р (ап)'
Далее п'ле V ^, откуда, Р (v а) = Р ( П * А*) Р (А^,).
6=1 ;<л-1 \*=1 / \б=1 /
Точно так для всех т < п
л
так как П Ле V ^.Значит, Р (Г) Л) = П Р (Ак). □
6=1 6<т+1 \й=1 / (!=1
1.2. Условия независимости о-алгебр. В предыдущем пункте
изучены условия независимости алгебр событий. Следующая
теорема позволяет свести изучение независимости о-алгебр
к независимости порождающих их алгебр. (Поскольку ст-ал-
гебра является в то же время и алгеброй, то приведенное вы-
ше определение независимости применимо и к ст-алгебрам.)
Теорема 4. Пусть зй>\, ..., зФ°п — алгебры событий, зФ1 =
= о(&°). Если з£и ...,зФ°п независимы, то независимы ст-алгебры
Доказательство. Воспользуемся теоремой 3. Покажем,
что V ^< и независимы. Заметим, что а (V &°Л есть ст-алгебра,
Кк Ч<6 I
содержащая 1<к, откуда а (v Ж1 = V а{&%
Ч<6 ' Кк Кк
V &&о(\/ $^Х \/ и ^ независимы. Поэтому для доказа-
