Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
б
-б
3.3. Лестничные функционалы. Для случайного блуждания
{£п}(£о=0) и а^О определим величины та = ш1 {и>0 : £«>«}
(если множество пусто, считаем, что этот 1п1 = +оо), при та<
<оо полагаем уа = 5та—я. Величина та называется моментом
перескока через уровень а, уа — величиной перескока через
уровень а; та и ^а называются также лестничными функциона-
лами. Изучим совместное распределение та и уа- Заметим, что
Р{та=&} = Р{£1<а, £ь-1<а, £ь>а}. Обозначим через /г((/)
функцию распределения |ь Тогда
а
Р{та = £}= | ^(у)Р{£2<а, £*>а|£1==«/} =
—со
= | й/7 («/) Р а-«/, £*_1-£1<а-«/,
— со
а
£*-£1>а-«/}= | й/г(«/)Р{гв_у = А-1}
—со
(мы воспользовались тем, что {£,п_г — £,х,п>1} также случайное
блуждание с шагами |2, |3, ...). Пусть |^|<1, СКк,а) =
со
= '%К*Р{ха = к}. ТогДа
<2(К, а)=КР{11>а}+К § С}(Х, а-у)с!Р(у), а>0.
— со
Положим для а<0 С} (К, а) = 0. Тогда получаем систему уравнений
<Э(ь, а) = К{1-Р(а + )) + К^(к, а-у)с1Р(у), а>0
(3 (К, а) = 0, а<0
Это Уравнение типа свертки на полуоси. Ниже приводится ме-
тод Винера решения такого уравнения.
Пусть е(2) = 1 при 2>0, е(г)=0 при 2<0. Перепишем (1)
в виде г{г)%{\— Р(г+\)=е(г) / <2(Я, г—у)с1(е(у)—КР(у)).
Рассмотрим свертку этого равенства с функцией ограниченной
вариации для которой Vl{t)=Vl(0) при ^>0. Получим
Я / е (2—0 (1—Р((г—0 +)) А>1 (0 =
= /8(2-0 / (2(Я, 2-г-г/)й(е(г/)-Я/Чг/))йМ0. (2)
При положительных г &{г—*)й?у1(0=^и1(0> поэтому из (2)
вытекает равенство
№1{г)=1<}{\гг—у)<1ъ2{у), (3)
где кФ\{г) —левая часть (2), &2(у) =Ле(У—0— №(у—^)]с!&1(0.
Если функция иг(0 постоянна при г<0, то уравнение (3) ре-
шается с помощью преобразования Фурье: положим
сю сю
Ф, (ц) = 5 е^йФ, (г), $ (К, ц) = $ е^<2 (*., г),
о о
оо
О
(так как С; (к, а) = Жк а, ха возрастает с а, то при 0<^<1
Q (к, а) монотонна по а). Получим из (3)
ХФ1((х) = д(Х, [х)гГ2((х), ^>ь=ЯФ,(и.)/£2([х). (4)
Для нахождения функций г»! (и.) и -г)2 (нО можем воспользоваться
равенством
ъ2 (ц) = (1-Ь/(н-))й (5)
где / ((х) = ^е'^й?/;'(г/) —характеристическая функция шага. Обо-
значим через ^„(у) функцию распределения £„. Тогда
(1-Х/ ((!))-= ехр |2 X /" ^) |2 ^ $ ЛГ/^ (</)} =
{оо О Ч I (■ оо оо 1
2 т- I И ехр ~ 2 х 1 е''й?/оГ/г» <4>
ы=1 —оо ^ | i 17 = 1 О
поэтому (5) будет выполнено, если положить
*,((!) = ехр 2 1Г I е1»«йРп(у) ,
[л = 1 —со ]
{со со >
л = 1 0 )
Эти функции являются функциями ограниченной вариации
с требуемыми свойствами, поскольку ък([1) = <\)е{1Х<с1ък^), где
м*)==в(*)+2тда**('),
со со
1ю*п — «-кратная свертка функции •т самой с собой. Пусть
г>+(Х, 0 определяется своим преобразованием Фурье
$^мм)=-^=ехр{2 ^|лгрл^. (6)
Тогда из (4) находим
<2/я, *)=ь |ф,(х-о^(я., О (7)
о
или, подставляя значение Ф] (л;) и учитывая, что при г > О
е (г — 0 с?©! (^) = аГг»г (0;
X со
<3{к, х) = х\ | [I — /7 {(x—t-~z)-\-)d'v_(k, г)с1ъ+(к, £), (8)
'О —со
где Ъ_(к, 0 = ^1
Выражение в правой части (8) можно преобразовать, исполь-
зуя то, что при ^>0
X 5(1——(2) =
= (К -1) V, (0) +1 (е (* - г) - ^ (* - г)) ^! (г) = г»2 (г),
(1 — %) ч)х (0) = (1 — %/ (0)) щ (0) = ^2 (0),
X
| г»2(л — ^йъ+(к, *) = е(л:),
о
<2(Я, л:) = е(л:) —©2(0)г>+(А,, л:).
Из этой формулы для (3 (Я, л) получаем следующее представление
I со оо 1
^ (А, р) = 1 - ехр 2 ~ I С6"1* 1) йР п (х) . (9)
[«=.1 0 )
Рассмотрим теперь функцию
оо
Доопределяя ее: (2\ (Я, х, у) =0 при х<0, получаем аналогично
уравнению (1)
<21(Кх,у)=\(1-Р((х+у)+)) +
(10)
+А, / <2\(Х, х—г, у)д.Р{г), х^0.
Это уравнение отличается от (1) свободным членом, решение
его определяется формулой (7) с подстановкой вместо
Фх(х—/) туда Фх(хА]-у—0- Поэтому
(К, х, у)=к f $[l-F((x + y-t-z)+)]dv_(K z)dv+(k, z). (11)
'о
а) Полуограниченные блуждания. Из закона 0 или
1 вытекает, что величина sup £„ конечна или с вероятностью О,
