Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

J М (!/«■) rfP = JgrfP. (7)

Первое утверждение вытекает из того, что М(!/<!Т) посто-
янно на атомах алгебры <§. Второе утверждение справедливо
для множеств Ек, это вытекает из (5), а значит, и для объеди-
нений этих множеств, которые и образуют алгебру &. Свойства
1) и 2) определяют M(£/J?) однозначно. Из 1) вытекает, что
эта величина постоянна на атомах &, т. е. на каждом Ек. Зна-
чение этой постоянной определяется формулой (7): если ск —
= №.(%/8) при coGfft, то chP(Eh) = J Ek\dP, мы в (7) положили
B=Eh. Это позволяет распространить понятие условного ма-
тематического ожидания на тот случай, когда <§ — произволь*
ная о-алгебра.

Определение. Пусть <gas4- — некоторая о-алгебра, % —
величина, для которой М|<оо. Величина M(g/«F) называется
условным математическим ожиданием величины | относительна
а-алгебры &, если выполнены условия 1) и 2). Если А&зФ, то
M(/A/<fT) называется условной вероятностью события А отно-
сительно а-алгебры S и обозначается Р(Л/<!Г).

Свойства 1) и 2) определяют условное математическое ожи-
дание однозначно с точностью до множеств меры 0, т. е. если
t]i =M(|/^) и г|2 = М(|/й'), то Р{г)1=г)2} = 1. Действительно,,
множество {а : tji—т)2>0} принадлежит & и, значит, в силу 2)

j (тії — Лг) /{ті,-тіг>о}С?Р = j Е/{ті,-ті2>о}^Р —j |/{л,_Т11>о}й?Р = 0.

Аналогично j (ті, — т)2) 7|r)l!_Tll>ojrfP=0, откуда j | тц — л2і dP = cl
Покажем, что условное математическое ожидание существует»

3*

35.

Рассмотрим на & счетно-аддитивную функцию множества

<3 (Е) = | ^с1Р. Очевидно, она абсолютно непрерывна относительно

к

меры Р, рассматриваемой на &. Поэтому по теореме Радона—
Никодима существует плотность О относительно Р, т. е. такая
«^-измеримая функция <7(ш), для которой С»(£)= / в<7(а>) Р {с1а).
Легко видеть, что последнее соотношение есть просто равен-
ство (7).

Укажем главные свойства условного математического ожи-
дания. Поскольку оно является случайной величиной и опреде-
лено с точностью до множеств меры 0, подчеркнем, что ниже
все равенства (неравенства также) следует понимать как вы-
полняющиеся с вероятностью 1.

I. Условное математическое ожидание является аддитивной
функцией от случайной величины. Это означает следующее.
Пусть |п = |„ (со) есть конечная последовательность случайных
величин. Тогда

М( 2 = 2м(|„/гг). (8)

Проверка этого равенства заключается в проверке того, что
для величины г) = 2 %п выполнено равенство (7), если в каче-
стве М(г)/^) взять величину, стоящую в правой части (8).

II. Пусть т)—«^-измеримая величина, а | — таково, что
М||т)|<оо, М|£|<оо. Тогда

т{1Ч/&)=цт&/&).

Нужно проверить для всякого В^Ж равенство

| шр=§та\юа-р. (9)

в в

Пусть у\=1с, где С&Ж. Тогда предыдущее равенство можно
записать так

| 5йГР= ]" М (Б | «•) сГР.

Значит, для ц, принимающих конечное число значений, равен-
ство (9) выполнено. Отсюда легко получить это равенство для
всех г), для которых одна из частей равенства имеет смысл.

III. Формула повторных математических ожиданий. Пусть
имеется две о-алгебры ЖаёГ<^$£. Тогда справедливо равенство

Щ\/&)=ЩЩ\/9-)1&). (10)

Пусть Е^Ж. Тогда

| м (м (| | у) | Ж) йР = | м (| | &) йР = 11йР

Е ЕЕ

{в последнем равенстве использовалось то, что Е^Жс&~). Тем

самым установлено, что величина в правой части (10) удов-
летворяет условию 2).

Пусть £ — некоторая случайная величина. Обозначим через
^ о-алгебру множеств вида {со:£еВ}, В^.<% — а-алгебра
борелевских множеств на прямой). Условное математическое
ожидание относительно должно быть измеримо относитель-
но а это означает, что оно есть борелевская функция ве-
личины ^. Эту функцию будем обозначать М (%/%). Точно так,
если {£ъ ^еЛ} — некоторое семейство случайных величин,
о{^, ЯеЛ} — наименьшая о-алгебра, относительно которой из-
меримы величины £я, то условное математическое ожидание
относительно этой а-алгебры обозначается М(|ДХ, Я,еЛ). Для
условных вероятностей используются обозначения Р(А/£),
Р(Л/и ША).

2.4. Регулярные условные распределения. Пусть зФцазФ —
некоторая счетная алгебра. Так как для всех А\, А2^з£о
Р(А1[}А2/Ж)=Р{А1/Ж)+Р(А1/Ж), если Л,ПЛ2 = 0 (равенство
выполняется с вероятностью 1), то можно указать такое мно-
жество С^зФ, что Р(С)=0 и приведенное выше равенство вы-
полнено для всех со 6 С Поэтому учитывая счетность $&о, мо-
жем утверждать, что существует такое подмножество и^$Ф>
что Р((7) = 1 и для всех сое(7 функция Р{А/Ж) (при каждом
А это функция со) аддитивна по А на л£0.