Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Последовательность случайных величин g„ сходится к слу-
чайной величине почти наверное (с вероятностью 1), если су-
ществует такое И^бФ, что 1п-+1 для всех со6(7 и P(U) = l. Мно-
жество тех со, для которых |п-»-| можно записать так:

ПиП {\ln-l\<\/k}, (11)

это множество принадлежит и если вероятность этого мно-
жества равна 1, то \п->\ с вероятностью 1. Если g„-> |
с вероятностью 1, то для всех k limP(n{|£n—Е|<1/&})=1,

m->-oo n>m

а значит и lim Р{ | \m — \ |> 1/£} = 0, т.е. по вероят-

ности. Если последовательность \п такова, что 2гр (|п, £)<С°°,
то |п->-| с вероятностью 1. Чтобы показать, что вероятность
(11) равна 1, достаточно показать, что вероятность дополне-
ния этого множества равна нулю, или что для всех k

Р(П U {|5„-£|>^-})= HmPf и {|5„-E|>jM) = 0. (12)

Но

p(U{|E«-S|>1/ä)<

1 А-1

<2>{|Е«-?1>1/£}<2МЕ, 1п)[\-е Ч

п>т п>т

и правая часть стремится к нулю при т-*- <х>. Таким образом
справедлива

Теорема 1. Если гР(|л, Е)->0, то можно выбрать такую
последовательность пк, что 1лА-^5 с вероятностью 1.

Следующая теорема устанавливает связь между сходи-
мостью по вероятности и сходимостью с вероятностью 1.

Теорема 2. Последовательность сходится к | по веро-
ятности тогда и только тогда, когда из всякой подпоследователь-
ности %п можно выбрать подпоследовательность |„й , сходящую-
ся к | с вероятностью 1.

Если %п сходится к Е по вероятности, то утверждение теоремы
следует из теоремы 1. Если 1п не сходится к I по вероятности,
то можно указать такое е > 0 и подпоследовательность пк, что
гр(1пк, Е)>е- Из подпоследовательности пк нельзя выбрать под-
лоследовательность, сходящуюся к | по вероятности (а значит, и
с вероятностью 1).

Пусть 11п, Ь = 1,..., г,— последовательности случайных вели-
чин, 1'п сходятся по вероятности к I', Ф (хи х2,хг) — непре-
рывная функция: /?г-з- Тогда Ф ..., 1гп) сходится по вероят-
ности к Ф(1Х,..., 1Г). Доказательство этого утверждения выте-
кает из теоремы 2 и того, что соотношения %1п I — 1,...,г,

влекут Ф --> Ф (1\V).

Последовательность \п фундаментальна с вероятностью 1,если

Р(пи П {\1п-1т\<{\\ = \. (13)

\ Ь I п,т>1 I я )]

Для всех со, принадлежащих множеству, стоящему под знаком
вероятности в левой части (13), числовая последовательность £„(&>)
фундаментальна и, значит, имеет предел. Поэтому почти для
всех со существует Пт £„(<»), этот предел будет случайной вели-

чиной.

Пусть теперь гр(1,1, Ет)->0. Выберем последовательность пк
так, чтобы гр[1пл, \Пк^){\-е-11П~1<\1к2. Тогда Р{\Ъпл-1ПА+1\>
>\1к2}<\1к2. Обозначим через У=и П {\1пк—1пк+.\<к~2}~

Тогда Р(£/)=1, поскольку

Р(в\£0-и=.Р(и1{ич-е.в,|>^})<

ОО

<"^р(!Ц-Ц+11>?)=а

Для собсУ

и поэтому сходится абсолютно ряд 1П1 + 1п2 — Ел! + ■. • + Е/гА+1 —
— т. е. существует lim|nft=g. Но тогда

А-»-со

Йт гр (g„, |) < lim гр (g„, g„ ) + гр (g g).

Переходя к пределу при k-^-oo, убеждаемся, что гр (g„, g)->-0.

б) Предельный переход под знаком математического ожи-
дания. Последовательность g« называется равномерно ин-
тегрируемой, если

limsupM|g„|//,6||l>e} = 0. (14)

а->-оо п

Теорема 3. Пусть g„ сходится по вероятности к g. 1) Если
последовательность \п равномерно интегрируема, то M|g|<oo и
lim Mgn = Mg. 2) Если g„>0, Mg < оо и limMg„ = Mg, то после-

П~+со и-»-со

доватёльность равномерно интегрируема.

Доказательство. 1) Пусть ga(x)=—a при л<— а,
ga(x) = x при |jc|<a, ga(x) = a при х>а. По теореме Лебега
о предельном переходе под знаком интеграла limMga(g„) =

= Mga(g). А из условия равномерной интегрируемости вытекает,
что

SUp М | ga (g„) — g„ I < SUp М I g„ I /{|J-|>fl},

и эту величину можно сделать сколь угодно малой выбором а.

2) Покажем, что для всякого е>0 можно выбрать такое а,
что Mg„/{gn>a}<s для всех п. Для этого достаточно, чтобы
было М/а (g„)<e, где fa(x) = 0 при x<aj2, fa(x) = 2x — a
при а/2<л<а, /а(л) = л при х>а. Так как /а — непрерыв-
ная фуНКЦИЯ, то falln)--> f a (g) ПО ВероЯТНОСТИ и g„ — /а (g„)->-

->g — /а (g) по вероятности. Но x — fa(x) ограниченная функ-
ция и по теореме Лебега limM(g„— /a(g„)) = M(g — /e(g)). При

CL > 00 /a(g)-^0, /a(g)<g, ПОЭТОМу ОПЯТЬ В СИЛу ТОЙ Же

теоремы

UmM/e(g) = 0.

Выберем так, чтобы M/ai(g)<e/2. Так как Mg„->Mg, то
limM/a(g„) = M/a(g) и можно указать такое щ, что при п>пх