Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

2.2. Случайные величины. Математические ожидания. Слу-
чайные величины — это величины, измеряемые в случайных
экспериментах. Это значит, что значение этой величины задано,
если только «произведен эксперимент», т. е. выбрано элемен-

/ < а. Тогда площадь

о

о

21

тарное событие. Поэтому случайные величины — функции эле-
ментарного события (мы рассматриваем здесь числовые вели-
чины) .

Возможность измерения означает, что для всякого интерва-
ла мы можем наблюдать событие: измеряемая величина при-
нимает значение из этого интервала. Таким образом, случай-
ная величина | есть измеримая функция элементарного собы-
тия: | = |(со), {(о:|(ш) <х}£$Ф для всех х^Н. Отображение |:
£2-»-# переводит меру Р на $Ф в некоторую меру щ, заданную
на сг-алгебре $ борелевских множеств щ — также вероят-
ностная мера, она называется распределением величины \. Она
задается своими значениями на интервалах [а, Ь[, а значит, для
ее определения достаточно задать функцию распределения
^Е(л:)=Ц|(]—оо, х[) =Р((со: £(со) • Случайная величина
называется дискретной, если можно указать такое счетное мно-
жество 5, что (Х{ (5) = 1. Если 8 = {Х), х2, . . .}, то распределение
величины | определяется набором вероятностей рь = Р({со:
|(ы) для любого множества ВЪМ Цъ(В) =Ирк1в(х11).

Распределение называется непрерывным, если для всех х
(М) = 0. Оно называется абсолютно непрерывным, если су-
ществует такая измеримая функция ^(х) :#-»-/?, что

1*6 (5) = |/6 (л:) их,

в

1ъ(х) называется плотностью распределения случайной величи-
ны £.

Пусть величина | принимает конечное число значений Х\, . . .
.. . , хг. Обозначим через Ак событие, заключающееся в том, что
величина | приняла значения хк. Предположим проведено п
экспериментов, в которых случайная величина \ приняла зна-
чения |ь £2, • • •, \п- Рассмотрим среднее значение полученных
наблюдений

г

4 = 1

Здесь Шг — число появлений события Л* в п экспериментах,
Vn(Л^)—частота появления события А<. Заменяя в правой
части частоты вероятностями, получим величину Ъхк\*{Ъ,=
=Хр}, которую естественно считать вероятностным средним

3—2550 6

33

случайной величины. Очевидно, что в этом случае

2**р !нр(^ш)=||йгр. (2)

Если для случайной величины | (с произвольным распределе-
нием) определен интеграл, стоящий в правой части (2), то го-
ворят, что величина | имеет математическое ожидание, оно
обозначается М| и определяется равенством

М| = ||(со)Р(й?со). (3)

Используя замену переменной в интеграле, можем получить
формулу для М£ через распределение величины |:

Мб = | хщ (ёх) = I хйхЕ1 (х) (4)

(существование математического ожидания подразумевает су-
ществование указанных интегралов). Для неотрицательных ве-
личин | считаем, что М£ всегда определено, оно может прини-
мать значение +°°- Поэтому можно говорить о случайных
величинах с конечным математическим ожиданием. Из (3) вы-
текает, что М5 — линейная функция от случайной величины,
для £5г0 и Щ>0, если £>0 и М| = 0, то р{£ = 0} = 1.

а) Математическое ожидание функции от
случайной величины. Пусть g(x) ■—борелевская функ-
ция из Я в Я. Если |(со) —случайная величина, то такой будет
и т|(<о) =£(1(<о)). На основании формулы о замене переменной
в интеграле убеждаемся в справедливости равенства

Щ = (■*) |х6 {их) = | £ (х) (х),

если эти интегралы существуют.

Для характеристики случайной величины используются ее
моменты:

ЛЦ* = | х*Цб (с1х),

где £ — натуральное число, это момент порядка к. Если су-
ществует М| = а, то величина

М (| — а)" = | (х—а)*(Х| (с1х)

называется центральным, моментом порядка к- В частности^

Щ =. М (| - а)2 = | (х - а)2 щ (их)

называется дисперсией случайной величины |. Если Щ = 0, то
Р{| = а} = 1.

2.3. Условное математическое ожидание. Пусть Е\, Е%, ...
Ег — полная группа событий. Под условным математичес-

ким ожиданием величины £ относительно события Eh пони-
маем

Формула (5) получается из (3), если в ней меру Р(Л) заме-
нить на условную вероятность P(A/Ek). Определим теперь ус-
ловное математическое ожидание относительно {Еи Ет).
Введем алгебру <§, порожденную событиями Е\, • • •, Ег. По-
ложим

г

м(^/^)=2чм(^^)- (6>

Отметим два свойства M(g/«F):

1) M(£/<fT) является случайной величиной, измеримой отно-
сительно .

2) Каково бы ни было множество B^S, справедливо равен-
ство