Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

ческий интерес представляют только последние. Рассмотрим
некоторые примеры их применения.

а) Расположение частиц по ячейкам. За-
дачи такого рода возникают в статистической физике. Имеется
п ячеек, в которых расположены «наудачу» ./V частиц. Каково
распределение частиц по ячейкам? Ответ зависит от того, ка-
кие события считаются элементарными.

Статистика Максвелла-—Больцмана. Считаем, что все час-
тицы различимы и все расположения частиц равновозможны.
Элементарное событие определяется набором (£ь &2.
где &г- — номер ячейки, куда попала частица с номером I. По-
скольку каждое из чисел принимает п различных значений,
число таких последовательностей пк. Вероятность элементар-
ного события равна п~*.

Статистика Бозе—Эйнштейна. Частицы неразличимы. Опять
все расположения равновозможны. Элементарное событие оп-
ределяется набором чисел (1\,...,1п), где ...-\-1п = И, и,
1^п, есть число частиц в 1-ой ячейке. Число таких последова-
тельностей можно подсчитать так: поставим в соответствие
последовательности (1\,...,1п) последовательность из нулей и
единиц (м, •• ■. где нули стоят на местах с номерами

+ и /1+/2+2,..., /1 + /2+ • • ■ +1п-\ +п—1 (их число равно
п—1), на остальных местах стоят единицы. Число последова-
тельностей такого вида равно числу сочетаний из Ы-{-п—1 по
п—1, вероятность элементарного события (С'у+п-г)

Статистика Ферми —Дирака. В этом случае N <п и каж-
дая ячейка содержит не более одной частицы. Тогда число эле-
ментарных событий Сп, вероятность элементарного события

Рассмотрим для каждой из трех статистик вероятность то-
го, что заданная ячейка (скажем, с номером 1) не имеет час-
тиц. Каждый раз число благоприятствующих элементарных
событий совпадает с числом размещений тех же частиц по
п—1 ячейке. Поэтому, обозначая через р\, рг, Рз вероятности
указанного события для каждой статистики (в порядке опре-
деления), будем иметь

Р1={П— 1) /П = (1 ——] , р2 = С дг+п+2/ Сдг+я-] =м + п_г

р3 = Сп IСп-\ = 1--—.

Если №]п = а и «-> оо, то

Рх = е~а, р2=Т~-, р3=1-а.

При малых а эти вероятности совпадают с точностью до
О (а2), а характеризует «среднюю плотность» частиц. Если она
мала, то вероятности, вычисленные с использованием разных
статистик, примерно равны.

б) Выборки. Общее определение выборки можно дать
так: имеются т конечных множеств Ль Л2, ...,Лт, из каждого
множества выбираем по одному элементу а^Л,, набор
{а\,...,ат) и есть выборка. Выборки различаются правилами
отождествления (скажем, мы можем не интересоваться по-
рядком элементов в выборке). Каждая выборка считается
элементарным событием, эти элементарные события считаются
равновероятными.

1) Выборка с возвращением. В этом случае мно-
жества Л, совпадают: Аг = А, число выборок равно пт, где п —
число элементов множества Л.

2) Выборка без возвращений. Она строится так:
А] =А, Л2=Л\{й]}, ..., ЛА = Л\{аь ..., ак-г}. Другими слова-
ми, рассматриваются только такие выборки (а\,...,ат), а^А,
в которых все элементы различны. Если число элементов А
равно п, то число выборок без повторений равно п(п—1)...
... (п—т+1), если же отождествлять выборки, отличающиеся
порядком элементов, то их число равно п(п—1) . . .
. . . (п—т+1)/т! = С„т.

3) Выборка без возвращений из пересекающих-
ся множеств. В этом случае множества Лг имеют общие
точки, но рассматриваются выборки, у которых все элементы
различны. Подсчет числа таких выборок можно осуществить так.

т

Рассмотрим множество Л=и Ай и алгебру его подмножеств

порожденную множествами Ль ...,Ат. Это конечная алгебра.
Пусть Вх, В2, ..., Вы — атомы этой алгебры. Обозначим через
..., В[щ) число выборок без возвращения из множеств
. ..,5; ), где каждое из множеств 5;А может совпадать
с любым атомом. п{В1х, .. ., В1т) зависит от тех различных мно-
жеств, которые встречаются в последовательности и от крат-
ности повторения этих множеств. Пусть п{1\, ку-Ля)—чис-
ло выборок из такой последовательности, где множество В\
встречается и раз, В2—к раз и т. д., 1^0, ... -\-1^ = т.

Тогда если Вг содержит щ элементов, то

Число же интересующих наг выборок равно сумме

2 п{Ви, ...,В1т).
В;104,,...,Вгт04т

1.2. Условная вероятность. Условной вероятностью события
Л относительно события В, имеющего положительную вероят-
ность, называется величина

Р(А/В)=Р(А[)В)/Р(В). Ш

Как функция Л величина Р(А\В) обладает всеми свойствами
вероятности. Содержательный смысл определения условной
вероятности можно пояснить следующим образом. Вместе с
исходным вероятностным экспериментом рассмотрим условный
вероятностный эксперимент, который происходит, если в исход-
ном эксперименте произошло событие В. Таким образом, если
исходный эксперимент произведен п раз и событие В про-
изошло пв раз, то эта последовательность содержит пв услов-
ных экспериментов. Событие А происходит в условном экспе-
рименте, если происходят А и В одновременно, т. е. происходит
событие А{\В. Если пАпВ обозначает число экспериментов (из
п произведенных), в которых наблюдалось событие А(]В, то
частота появления события А в пв условных экспериментах
равна пАпВ/пв=уп(А[)В)/уп(В). Заменяя частоты на вероят-
ности, получаем правую часть (1).