Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
не зависит от любого события А^зФ. Две алгебры событий $&\,
называются независимыми, если в каждой паре А\&^Фи
Ач^зФъ события А\, А2 независимы. Алгебры событий
«5^1, з&2, ■ ■ ■, эй'т независимы, если события Аь А2, ...,Ат, где
А^$Ф%, независимы между собой. Для этого достаточно,
чтобы
т
р п л,)=Пр(Д) (6)
для любого выбора Ах^зФг (Упрощение определения по срав-
нению с определением независимости событий при помощи
(5) объясняется тем, что в качестве некоторых А4 можно взять
а.)
Пусть имеется несколько экспериментов, задаваемых веро-
ятностными пространствами (£}и, М-п, Ръ), к=\, 2,...,п. По-
строим новое вероятностное пространство (£2, р). В ка-
честве О возьмем декартово произведение С^ХЙгХ ... Х£2„.
Алгебра М- есть произведение алгебр зФ®^® ... ®$&п, это
алгебра подмножеств £2, порожденная множествами вида
А^хА2Х ... ХА„, где А^зФк, к = \,...,п (говорят, что алгеб-
ра порождена некоторым набором множеств, если это наи-
меньшая алгебра, содержащая этот набор). Наконец, мера р
п
есть произведение мер Рк: р= П Ри, т. е. р(А1ХА2Х...
... X А„) = Р1 (А1) р2 (А2) ... Рп (Ап). Вероятностное пространст-
во (£2, Р) отвечает составному эксперименту, в котором
каждый из п экспериментов, указанных выше, производится
независимо.
а) Схема Бернулли. В схеме Бернулли рассматривается
последовательность независимых одинаковых экспериментов. Точно
это означает, что для всякого п определено вероятностное
пространство [о.хХ . ■ ■ У,9.п, .. .®&п, прг|, где каждое
из вероятностных пространств (£1и, М-п, Рь) совпадает с одним
и тем же вероятностным пространством (£2, зФ, Р). (Как мы
увидим далее, можно сразу рассмотреть бесконечное произве-
дение таких вероятностных пространств, оно уже не будет ко-
нечным, если исходное пространство нетривиально, т. е. О, со-
держит более одного элемента.) Пусть А^зФ. Событие £2Х ...
... ХЛ X ... Хй, где Л стоит на &-ом месте, остальные сомно-
жители — Q, трактуется как событие «Л произошло в к-ош эк-
сперименте». Обозначим через р{п,т) вероятность того, что в
п независимых экспериментах событие Л произойдет ровно
т раз. Тогда
р{п, т) = С™рт{\-ру-т, р = Р(А). (7)
Действительно, интересующее нас событие является объедине-
нием событий вида Л X Л X ... X Л X ... X А X • • • X Л, где
в произведении встречается А т раз, Л — п— т раз. Различных
таких произведений будет С™, а вероятность одного равна
рт{\ — р)п~т.
Пусть Ль Ач,...,АТ — некоторая полная группа событий из
алгебры зФ. Обозначим через рп(кх,..., кг) вероятность того, что
в п независимых экспериментах событие А{ произойдет раз,
1=1,..., г, &1+ ... -\-кт = п. Аналогично предыдущему устанав-
ливаем равенство
рп(ки ...,кг) = к11 П\кА р^ ... р\\ /?< = Р(А), (8)
1=1, ..., г.
Вероятности (7) называются биномиальными, (8) — полино-
миальными (мультиномиальными).
б) Закон больших чисел. Этот закон многократно
упоминался во вводной главе. Теперь мы в состоянии его дока-
зать.
Теорема Бернулли. Пусть л>„ — число появлений со-
бытия Л, имеющего вероятность р, 0<р<1, в п независимых
экспериментах. Тогда для всякого е>0
11т Р {| ^ V,,—/71 > в} = 0. (9)
Доказательство. При фиксированном п событие {уга =
= &} имеет вероятность рп(к). Для разных £ эти события не-
совместны. Поэтому
р{|т^-Н>8Н 2 р«(ь)+ 2 рлк).
" Ь<п(р-г) к>п(р+е)
Исходя из (7), находим
рп(к + \) п—к р
рЛк) ~~к + 1 1— р'
Поэтому для к > п (р + е)
/>я(& + 1) п(р + е) Р ^1 6
"/> 1—/> 1—р"
Обозначим через наименьшее к, удовлетворяющее неравенст-
ву к>п(р-\-ъ), а — наименьшее £, для которого (п.—к)р[
/(к+1) (1— р) <1. При р„(£+1)<р„(£). Поэтому
оо
2 Рп&)= 2^(лхр»(л*)2 (1-г^Г=(-1т£1^(^).
*>п(р+е) А>й* т=0 ^
А*
Далее, 1<2р»(А)>(*'-А.)л(А'),
Поскольку /6 £ — наименьшее удовлетворяющее неравен-
ству £>я/?-]-р — 1, то £* — к*>гп—2 и при «-> оо
2 рп(к)=0 (-т-)- Аналогичная оценка справедлива и для
2 Рп (*)■
А<п(р—Е)
в) Закон редких событий. Рассмотрим асимптоти-
ческое поведение биноминальных вероятностей в предположе-
нии, что вероятность события А стремится к нулю. Нетриви-
альный результат получается, если число экспериментов здесь
также растет таким образом, что произведение пр = а остается
ограниченным и отделено от нуля.
