Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Теорема Пуассона. Если выполнены указанные пред-
положения, то

рп(т) ~ (т\)~*ате-а. (10)

Доказательство вытекает из следующих преобразований

п(п—1)...(п—т+1) 1а\т[л а\п-т
УпК"1')— " ~~

_1_
'/я!

/..О-"-'>--;Г'+1>(тГ(1-

(1 —^) ... (1 - ^=1-) ат ехр {(« - т) -£} ~ (т \)-*атега.

Набор величин рт(а) = (т!)",ате_°, т = 0, 1, 2,..., назы-
вается распределением Пуассона с параметром а, сумма всех
рт(а) равна 1. Во многих практических ситуациях «редкие» од-
нотипные случайные события подчиняются распределению Пуас-
сона: вероятность того, что за определенный промежуток вре-
мени произойдет т событий, равна рт(р), где параметр а про-

порционален длине промежутка. Примерами таких редких собы-
тий могут быть: 1) число космических частиц, зарегистрирован-
ных счетчиком, 2) число телефонных вызовов, поступивших на
телефонную станцию, 3) число несчастных случаев, 4) число
автокатастроф и т. п.

г) Нормальная аппроксимация. Найдем асимпто-
тическое представление для вероятностей рп{т) при больших
пир, отделенных от 0 до 1.

1. Теорема Муавра — Лапласа. Равномерно по
р{\—р)^8, \х\^1/8, каково бы ни было 8>0, справедливо
соотношение

(т) ~ (2ппр (1 -р))-"2 ехр {- (11)

где х = (т — пр)(пр(\ — р))~1/2.

Чтобы убедиться в справедливости (11), запишем рп(т) с по-
мощью формулы, Стирлинга (п\~]^2тппе~п)

Рп (т) = {п_тут1 Рт (1 - РТт ~ ппе~п У2т (я- /и)-»*» х
X е~п+пг (У2л (п — т))~1п пГте~т (У2шп)~1'2 рт(\— рУ~т =

п ) п ) \ п 1 \ п—т

Заменяя т через х: т — пр-\-хУ~пр{\ — р), п — т = п(\—р) —
— хУ^пр(1 — р) и пользуясь ограниченностью х, получим

/ Г\_п\-пр-х Упо(\—р)

р„(т)~{2ппр \-р))-т(1 + ху X

i /----\-п(\-р)+хУпр(\-р)

Беря логарифм произведения двух степеней, содержащих х, можно
убедиться с помощью разложения логарифмов 1п (1 + |/ 1~р ^
и1п(1-Л|/^7^т),что он равен _£ + 0(-^=-

§ 2. Определение вероятностного пространства

Здесь мы откажемся от конечности пространства £2. В этом
случае естественно вместо алгебр событий рассматривать о-ал-
гебры и вероятность определять как счетно-аддитивную функ-
цию событий.

2.1. ст-алгебры. Вероятность, а-алгебра $Ф подмножеств
О, — это такая алгебра, которая вместе с каждой последователь-
ностью Ап££Ф содержит иАг- Тогда $Ф содержит и ПЛ„ =

п п

= 0\и(Й\л„) и, следовательно, замкнута относительно

п

объединений и пересечений событий, произведенных не более,
чем счетное число раз. Каждую алгебру событий зФо можно рас-
ширить до о-алгебры следующим образом: нужно рассмотреть
все множества, которые получаются из множеств зФо с по-
мощью операций П, 0. \. использованных не более чем счетное
число раз. Для записи таких множеств пришлось бы использо-
вать трансфинитные числа. Более удобно использовать сле-
дующую конструкцию, которая с расширением алгебры позво-
ляет продолжить и меру на расширение. Класс подмножеств Ж
называется монотонным, если со всякой возрастающей после-
довательностью множеств Ап он содержит и [}А-п, и с каждой

п

убывающей последовательностью Вп и [\Вп.

п

Теорема о монотонном классе. Наименьший
монотонный класс Ж, содержащий алгебру М-о, совпадает с
наименьшей о-алгеброй зФ, содержащей зФо.

Эта о-алгебра называется а-алгеброй, порожденной алгеб-
рой &Фо- Если 5 — некоторая система подмножеств О, то наи-
меньшая о-алгебра, содержащая все множества из 15, назы-
вается о-алгеброй, порожденной 5 и обозначается через а(5).

а) Определение вероятности. Если О бесконечно,
то а-алгебра событий несчетна, так как уже несчетно множест-
во подмножеств, а элементарные события входят в о-алгебру
событий как одноточечные множества. Поэтому эффективное
определение вероятности для всех событий, вообще говоря, не-
возможно. Это можно сделать в простейшем бесконечном слу-
чае, когда О счетно, $Ф совпадает с а-алгеброй подмножеств Я.
Всякое подмножество представимо в виде объединения не бо-
лее чем счетного числа элементарных событий, поэтому веро-
ятность определяется своими значениями на элементарных со-
бытиях. Пусть ^—{(Ои, 2,...}, Ра = Р({сой}). Тогда
Р(А)=^1А(аи)рк.

Если £> несчетно, то для определения вероятности обычно
используется продолжение ее с конечных алгебр. Пусть &Фп —
возрастающая последовательность конечных алгебр, &-0^= и^л-

п

некоторая счетная алгебра. Обозначим через {Е'„, 1= 1, .. ., кп}
множество атомов алгебры зФп. Чтобы задать вероятность на
алгебре^,,, достаточно задать значения Р(Е'п), 1, . ..,
Они должны удовлетворять условию

рИ^р^)^,^,. (1)