Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Скороход A.B. -> "Вероятность: основные понятия, структура, методы." -> 13

Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Скороход A.B. Вероятность: основные понятия, структура, методы. — , 1989. — 279 c.
Скачать (прямая ссылка): skorohod.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 110 >> Следующая

а) Формула полной вероятности. Формула
Байеса. Говорят, что конечный набор событий Яь Я2, ...,НТ
образует полную группу событий, если они несовместны и их
сумма достоверное событие: 1) Н{(]Н^ = 0 при Ьф'у, 2) \}Нх =

= 0.. Можно рассмотреть дополнительный эксперимент, в кото-
ром Я,- являются элементарными событиями, а исходный эк-
сперимент рассматривать как составной: сначала мы выясняем,
какое из Hi произошло, затем уже при известном Яг- произво-
дим «условный» эксперимент в предположении, что Я*
произошло. Каждое событие А в условном эксперименте про-
исходит с вероятностью Р(Л/Я*)—условной вероятностью со-
бытия А при условии, что произошло Н{. Во многих практи-
ческих задачах Я^ называются «гипотезами» и условные веро-
ятности относительно гипотез считаются заданными.
Следующая формула, выражающая вероятность события че-
рез условные вероятности относительно гипотез и вероятности
гипотез, называется формулой полной вероятности:

г

Р(Л)^Р(А\НдР(Нд. (2)

Действительно, правая часть преобразуется на основании (1)

г

в сумму 2Р(ЛП//г) и поскольку множества ЛП//, несовмест-

1=1

ны, а и Нг = &, то

2РИП#,) = Р (и (Лпяг))-Р(лп и Н,) = Р(А).

Формула (2) удобна, когда рассматривается действительно со-
ставной эксперимент.

Пример. Имеется г урн с черными и белыми шарами, веро-
ятность извлечь белый шар из урны с номером 1 = р1. Выбирается
(наудачу) одна из урн, затем из нее извлекается шар. Определим
по формуле (2) вероятность извлечь белый шар. В нашем случае

г

Р(#,)=1|г, Р(А/Н1) = р1 и, значит, Р(Л) = |2л-

«=1

Из формулы полной вероятности выводится одна важная
формула, носящая название «формулы Байеса». Она позволяет
определить условные вероятности гипотез при условии, что
произошло событие А:

Р (Нк | А)= Р (Л | Ни) Р (Ни) 12 р И I Нг) Р (Я,). (3)

Эта формула обычно интерпретируется следующим образом.
Считается, что заданы условные вероятности событий при
каждой из гипотез Яь ..., Яг и вероятности гипотез. Если в
результате эксперимента произошло событие Л, то вероятности
гипотез изменились: раз мы знаем уже, что произошло собы-
тие Л, то в качестве вероятностей гипотез естественно рас-
сматривать их условные вероятности относительно события А.
Р(Яг) называются априорными вероятностями гипотез, а
Р(Яг/Л)—апостериорными. Формула Байеса выражает апо-
стериорные вероятности гипотез через их априорные вероят-
ности и условные вероятности событий при различных гипо-
тезах.

Пример. Из двух урн, из которых первая содержит 2 бе-
лых и 8 черных шаров, вторая 8 белых и 2 черных, выбирает-
ся наудачу одна и из нее извлекается шар. Он оказывается бе-
лым. Какова вероятность, что была выбрана первая урна?
У нас Р(Я,) = Р(Я2) = 1/2, Р(Л/Я,) =1/5, Р(Л/Я2)=4/5. По
формуле (3)

Р(Я,/Л) = 1/2-1/5/(1/2-1/5+1/2-4/5) = 1/5.

б) Независимость. Событие Л не зависит от события
В, если условная вероятность Р(Л/В) совпадает с безусловной
Р(Л). В этом случае справедлива формула

Р(ЛЛЯ)=Р(Л)Р(Я), (4)

которая показывает, что отношение независимости симметрич-
но. Формула (4) служит определением независимости двух со-
бытий А и В. Первое определение более содержательно: тот
факт, что произошло событие В, не влияет на вероятность по-
явления события Л, естественно считать, что Л от В не зави-
сит. Из формулы (4) вытекает, что независимость Л и В вле^
чет независимость таких пар событий: Ли В, Ли В, А и В
(А — событие; противоположное Л). Для нескольких событий

понятие независимости определяется так. События
А\, А2,...,Ат называются независимыми, если, каковы бы ни
были и 11<^2< ... <1?1^т, выполнено равенство

р(Л,пЛ,П...ПЛл)=р(Л1)... р(Д-А). (5)

Так, для трех событий А, В, С их независимость означает вы-
полнение четырех равенств: Р(А(]В) = р(А)р(5), р (А[]С) =
= р(Л)р(С), Р(В(]С)=Р(В)Р(С), Р(А[]В[}С)=Р{А)Р(В)Р(С).

Пример Бернштейна. Пространство элементарных со-
бытий состоит из 4 элементов Е\, Е2, Е3, Ец, Р{Ек) = 1/4, £ =
= 1, 2, 3, 4. Пусть Аг = ЕА}Еь, 1=1, 2, 3. Тогда А1ПА2=А1ПА3 =
=Л2Л^з = А1ПА2ЛАз = £4. Следовательно, р^ПЛг) =р(Л1)р(л2),
Р(А1Г\А3)=Р(А1)Р(А3), р(А2ПАз)=р(А2)р(А3). Но р(А,ЛА2П
ПА3) = 1/4=И=р(л1)р(А2)р(А3). События Аь А2, А3 независимы
попарно, но не являются независимыми.

1.3. Схема Бернулли. Предельные теоремы. Пусть
А\, А2, ...,АГ — полная группа событий. Событие В не зависит
от этой полной группы, если оно не зависит от каждого из
событий Ак, к = 1,...,г. Пусть $Ф — алгебра, порожденная со-
бытиями Аь...,Аг, она состоит из пустого множества и объ-
единений [}Аг., г'й^г. Тогда В не зависит от алгебры т. е.

к *

Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed