Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Тем самым определена вероятность на $Фй. Значения вероятности
на &Ф0 однозначно определяют вероятность на сг(^0). Действи-
тельно, счетная аддитивность вероятности эквивалентна ее не-

прерывности: если A„f или Л„|, то Р (U A„) = lim Р (Ап) или

л-»-оо

Р(П An) = hm Р(А„). Поэтому, если две вероятности Р и Р*

совпадают на s&0, то они совпадают и на некотором монотонном
классе, содержащем s&0, а следовательно, и на а{^0).

Соотношение (1) не единственное ограничение на выбор
Р (е'п), оно обеспечивает аддитивность на s4-u (неотрицательность
и нормированность Р подразумевается, нормированность обеспечи-
вается условием {e{)=\j. Для того чтобы Р продолжилось
до а-аДдитивной функции на a(j&0), необходимо и достаточно,
чтобы Р было сг-аддитивно на зФй. Необходимым условием для

этого является следующее: если е'п —убывающая последователь-
ность, для которой Г\е'п=0., то lim Р (е'пп) = 0. Оказывается

п

выполнение этого условия обеспечивает возможность продолжения
меры. Доказательство этого утверждения достаточно провести

для того случая, когда lim Р (е'пп) =0 для всякой убывающей

последовательности е'" ( непрерывная» мера). Это вытекает из того,
что существует лишь не более чем счетнсе множество таких

убывающих последовательностей elnn{k\ £ = 1,2,..., для которых

limP {е 'nn(k)) = qk>ü, и для них П е'/ю --ек9,а не пусто.

тг^оо п

ек — атомы о(^„) и если Qi (Л) = 2 ^РаС:-4}^*' т0 очевидно Q,—
счетно-аддитивная мера. Полагая Q2 (Л) .--= Р (Л) — Qx (А), Ле^0,
получим уже непрерывную меру. Для такой меры можно восполь-
зоваться интерпретацией множеств е'п как интервалов отрезка
[0,1] длины Q2(eln), причем отрезки выбираются так, чтобы
отношения включения отрезков и множеств е'„ совпадали.

б) Геометрические вероятности. Геометричес-
кие вероятности возникли при попытке обобщить случай поня-
тия «равновозможности», лежащего в основе классического
определения вероятности. Они были связаны с «выбором на-
удачу» точки из некоторой геометрической фигуры. Если фи-
гура была плоской, то считалось, что вероятность выбрать точ-
ку из заданной части фигуры равна отношению площади этой
части к площади всей фигуры. Простейшей иллюстрацией ме-
тода геометрических вероятностей может послужить

Задача о встрече. Два лица договариваются встре-
титься между 1200 и 1300. Пришедший на место встречи ожида-
ет 20 минут. Какова вероятность встречи, если момент прихода
каждого выбирается наудачу и независимо от момента прихода
другого. Если х — доля часа после 1200, когда пришло первое
лицо и у— второе, то встреча произойдет, если \х—г/|<1/3.

В качестве пространства элементарных событий возьмем квад-
рат со стороной 1. Одну из вершин считаем началом координат,
а выходящие из нее стороны — осями координат. Паре (х, у)
ставим в соответствие точку квадрата с этими координатами.
В качестве а-алгебры событий возьмем борелевские подмно-
жества квадрата, вероятность — лебегова мера. Точки, удовлет-
воряющие условию | х —- у | < ^, лежат между прямыми х — у = 1 /3,
х — у=—1/3, дополнение этого множества состоит из двух тре-
угольников х> у + -3-, */>.* + -jp которые вместе составляют

квадрат со стороной 2/3 и площадью 4/9. Значит, вероятность
встречи равна 5/9.

Задача Бюффона. На плоскость, разграфленную па-
раллельными прямыми, лежащими на расстоянии 2а, бросается
наудачу игла длины 21. Какова вероятность, что игла пересечет
прямую?

Положение иглы определим расстоянием х от центра иглы
до ближайшей прямой и острым углом ср между прямой и иглой,
0<х<а, 0<ф<я/2. Прямоугольник, определяемый неравен-
ствами, есть пространство элементарных событий. Игла пересека-
ет прямую, если л: <U sin ср. Искомая вероятность есть отноше-
ние площади фигуры, определяемой неравенствами 0 <.*;<;/,
0<ср<я/2, .K</sincp к площади прямоугольника ка/2. Пусть

ность пересечения равна

Сейчас под геометрическими вероятностями понимают такие
вероятностные пространства, в которых в качестве пространст-
ва элементарных событий выступает некоторое подмножество
конечномерного евклидова пространства, а в качестве вероят-
ности^— соответствующая мера Лебега (с проходящей норми-
ровкой). Следует отметить, что именно использование геомет-
рических вероятностей показало, что выражение «наудачу»
для пространств с бесконечным числом исходов не имеет смыс-
ла. Используя в качестве пространства элементарных событий
различные множества, будем получать для вероятностей раз-
личные значения. Так, если определять положение хорды поло-
жением ее центра, вероятность того, что ее длина больше ра-
диуса равна 3/4. Если же считать, что хорда определена
точкой на окружности и углом между хордой и касательной, то
эта вероятность будет 2/3.