Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Предположим, что существует функция р(А,ю), удовлетво-
ряющая условиям: 1) р(А,ю) есть мера по А на &\ 2) для
всех Ле^ р(А, со) ^-измеримо, 3) Р(А/ё') =р(А, со) (с веро-
ятностью 1). Тогда р(А, со) называется регулярной условной
вероятностью. Примеры показывают, что регулярная условная
вероятность, вообще говоря, не существует. В то же время на
«5^о можно построить функцию р{А, со), которая аддитивна при
каждом со и совпадает с условной вероятностью (при соеО\
\(/ р(А, со) можно определить произвольно, лишь бы выполня-
лось условие аддивности и ^-измеримости). Поэтому невоз-
можность построения регулярной условной вероятности, по-ви-
димому, связана с тем, что $Ф содержит слишком много мно-
жеств. Если же зФ0 таково, что каждая аддитивная функция
на зФй продолжается до счетно-аддитивной на о(^о), то
р(А,со) будет счетно-аддитивной на о(з£о). Простейшим
примером такой алгебры «5$0 является алгебра, порождае-
мая объединением счетного числа конечных покрытий компакта
сферами радиуса ги, к = \, 2, еь-^0. Если задана некоторая
аддитивная функция V на такой алгебре «5$0, то для всякой не-
прерывной функции ф определен / уйу, а из вида линейного
функционала вытекает, что этот интеграл должен быть инте-
гралом по счетно-аддитивной функции.

Пусть X—полное сепарабельное метрическое пространство.
Для всякой меры р на а-алгебре &х борелевских множеств
выполнено следующее свойство: Уе>0 существует компакт

&

Жг такой, что ц(Х\Же)<е. Пусть х(со) — измеримое отобра-
жение О в 1:{ш:х(й»)еВ}е^ для В<=^х. Обозначим через
цх(В) меру, в которую переводит отображение х{ы) меру
Р : цх(В) =Р({со : х(ы) еВ}). х(со) называется случайным эле-
ментом в ^ (случайный элемент в /? — это случайная величи-
на), Цх(В)—его распределением. Пусть $х — о-алгебра под-
множеств из М- вида {со : х(ы) ей}, Ве^х. Условная вероят-
ность Р(С/е?), рассматриваемая на отображением х(ы)
переводится в некоторую функцию |ях(В/е?), Ве^1, которую
будем называть условным распределением элемента х(со). Оче-
видно определение регулярного условного распределения.

Теорема. Регулярное условное распределение случайного
элемента в полном сепарабельном метрическом пространстве
существует.

Доказательство этого утверждения основано на следующих
утверждениях. 1) Можно указать такую возрастающую после-
довательность компактов Кп, что |ях(Кп)|1 и тогда существует
с/б^, Р([/) = 1 такое, что для всех ©б[/ цх{Кп/^) 11. 2) Для
каждого Кп можно указать такую счетную алгебру его под-
множеств £фп и такое множество ипвбФ, что Р([/„)=1,
цх(В/(2) аддитивна на зФп при (обс/„. 3) Алгебру зФп можно
выбрать так, чтобы всякая аддитивная функция на ней един-
ственным образом продолжалась до счетно-аддитивной на
& к п — о-алгебре борелевских подмножеств К„. 4) Всегда мож-
но выбрать жп возрастающими по п. Тогда для <»€( П ип) П и

п

\ах(В\ё>) будет счетно-аддитивна на 3&х, Р((Пс7„)ПЩ= 1. Для

п

остальных со можно \1Х(В | <о) выбрать совпадающим с цх.

2.5. Пространства случайных величин. Сходимость. Рас-
смотрим пространство числовых случайных величин, заданных
на вероятностном пространстве {£2, Р}. Обозначим его
/?(°2). Это линейное пространство. Последовательность случай-
ных величин 1п называется сходящейся по вероятности к слу-
чайной величине |, если для всякого е>0 Нт Р{||п—1|>

>е}=0.

Сходимость по вероятности эквивалентна сходимости
к нулю величины 1— Мен^л'- Чтобы убедиться в этом, нам
понадобится одно важное неравенство

а) Неравенство Чебышева. Если \ >О, М| < оо, то
для а>0 Р{1>а}<.1-Щ.

Доказательство. Так как £>#-/{1>а}, то М| >
>Ма/{?>а} = аР {I > а].

Положим гР (|, Т1) = 1—М ехр {— 11—г| |}. Тогда на основа-
нии неравенства Чебышева

Р{| g—т) | >а}=Р{1—е-'^"1 > 1—е~а}<

</-р(1,г))(1-е-а)-1-
С другой стороны, при 0<е<1

rp (I, ti)<вЧ-м/{1-ехр{-ц-Ч|}>е}<е + р {| g — л |>In y^-}.

Поэтому если \п сходится к | по вероятности, то для всякого
£>0 lim гР(|, |„)<8. Если же Гр(| ,£„)-»-О, то для всякого е

lTm"p{g-g„| >e}<limrP(i, g„)(l-e-e)-i=0.

П-*-оо Л->со

. Заметим, что гР(|, т)) удовлетворяет неравенству треуголь-
ника: если I, т), g —три случайных величины, то

гР(Е, T))<rP(g, £) + гр(т1, S).

Отождествим случайные величины, совпадающие почти всюду
по мере Р (о свойствах, которые выполняются почти всюду по
мере Р, говорят, что они выполняются почти наверное). Так
как в дальнейшем всюду будет предполагаться выполненным
указанное отождествление, мы для так определенных случай-
ных величин и для множества всех случайных величин сохра-
ним старые обозначения. Поэтому гр(£,г|) является метрикой
на R(Q) и /?(Q) полно в этой метрике. Полноту мы обсудим
немного ниже.