Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
— = —+ 1
Ум \ / xn — a-.N \
/ v -v» T y« /'
где {.с,,} п {j/n} — любые последовательности, удовлеіворлкіщпе условиям у„ > 0, уп — J/.V > 0.
При и > .V, хє(|/2, 1) втрое слагаемое иравой части неравенства меньше чем е/2. Полому
л
V „ -*
2-Х
<
— "к" к^Ь
10 В. А. Садивннчші, А. С. Подколлш
144
не делящихся одновременно на 2, f(x. у) нечетно, так что а нечетно, ие(1. 3. 5}. Имеем 20/(.г, у) - (\0х + Ну)2 — 22П/2. Предположим, что найдутся целые xq, уо такие, что /(гс у а) — 1. Обозначим t = 10.ro + II.i/o и, учитывая 221 = 13-17, заметим, что t2—7 делится на 13. Легко проверить, что ни при каком целом t это невозможно.
Аналогично, если разрешимо в целых числах уравнение /(г, у) = 3, то получпм, что t2 — 8 делптся на 13 при некотором целом t, что тоже невозможно. Отсюда а = 5.
503. Так как-9-J rcosx^O, то |r| < 1/2. Обозначим <r(j/) =
= г cos у 4 ''2 eos 2.1/, тогда ц'(у) = — г sin // (I + 4г cos у) = 0 прп у — Ад либо прп cos 1/ = — 1/4г. В первом случае <г (1/) ^ — 1/4,
1 / 1 \ 3' ео втором гг (1/ = — 4" г21"^р>— 11 ^— Таким образом,
3
ф(!У) — ^Дли люоого 1/. Находим далее
2 ~ 8
4 - 4~(" " I
2 8 2-4" 22"+1
*«п+2 = Sin+l + г™ 1 coS2*V> S.n41 - >0.
Таким образом, при |r| ^ 1/2 все частичные суммы неотрицательны.
5(14. Утверждение задачи очевидным образом вытекает из следующей леммы.
Лемма. Пусть дана матрица Ikfrj (О II i«u-j«s», где —
дифференцируемые функции. Обозначим Л,j(/) алгебраическое дополнение элемент (pij(t) Тогда
(<iet|ф„(оц)'= V f(;.(0.,..(,).
1^ 1,} 71
Для доказательства леммы заметки, что
ГЬ-/0 II = 2 (- <>"" Tlrtl, О • • • «Паы О-
О
где суммирование берется по всем подстановкам о, а производная определителя равна
2«pJj-OSVia-cijC) - •• 4>i_i.a4f-i> О TT+i.o-ti+i) <'> ••¦
i,/ о'
(о' принимает значения на {1, 2, ,.., / — 1, / + 1, ..., п}). 14S
505. Рассмотрим ретенпе уравпеппя ^ = / (х,у), проходящее через (х0; уо). В силу условия на /(.т, у) вдоль такого решения Ш (*, у)
—^—=0, т. е. ; — константа, .значит, это решение — прямая (.V — Уо) = /(*<>, Уо)(х — хо). Если для некоторой точки (а-,; у,)
/и>1 т) Ф г/о), то прямые г/— г/о =/(.го, г/и) (-г — а„) и
I/ — г/1 = /(-г1, 2/1) (я— -л) пересекаются и вп-шикает противоречие с тем, что вдоль каждой прямой /(.т, ;/) — константа, равная в первом случае }(хе, у0), а во втором — /(.п, у,).
V / /
5(Ш. Разложим гр7 00 степеням 1 — <: г^т^ ^~ "|иг (| __ (| _
_I_ 1—2(1—0
= г (| _ пч р = п _ па 4 0(1). По 1ТО-
|_(1-0- ^~2-2-4«'((1-03)]
му при x -> 1 —
а: х
I) о L J
- 7^7 + 2 1,11' ~ 11) lo + °(= ~ TZTf + 2 In (I - *)4-0(l).
Поэтому 0^ I П
Jim U-!f f _!_,//=(-' nr,n " = x > I- J In*' 10 при a > 1.
507. Otbpt. ;/ = 2r2 — 3.
508. Если определитель матрицы А равен 0, то существуют тя-
я'
кие ?ч, As. ?-з. не равные одновременно 0, что для каждого/ * , "к.а( .=
i=l
з
= 0. Пусть шах | Я. |. Так как У V,s=0, то | Я„| »н-
|У. Vih |< IЧ I У. \nibV 0ТКУДа "hh^yje,h|-противоречие.
509. Имеем sin (sin x) = sin(z + o(x)) — x + o(x) при ж—у О,
1 — cos г= i-|o (.т2), cos ^ — cos х j = sin ^7- (1 — cos z)j —
.In \ я
= 4 in I -j- a;2 4 о (*2) I = тг то (ж2), откуда видно, что искомый
предел равен 0.
510. Касательная к гиперболе в точке (2; 2) пмеет уравнение У = 4 — я, причем гипербола расположена сверху от нее, каса-
/4 IN
тельная к эллипсу в точке ^:j7?r'' y^j имеет Уравнение у=1 5—ж. причем эллипс расположен снизу от нее. Поэтому расстояние от
14.1
Р до С не меньше, чем расстояние между данными касательными,
А-V Т. раннее-—~ "> 1
1 2
I "п Л
511. Имеем Ап -= . откуда п = ± 1, с = ± 1.
\ 0 с" '
.м_(' ;),™™»,.»-(,', ';''),„
-Ч"1-?)--(! ":)• — •<"=<-""(; "",7
откуда Л = О
/1 ()\ / — 1 0\
/1 = 1 I. либо 1 — I , лпоо Л имеет ОДИН 113 Ш1ДОВ
и» 1/ V 11 -I/
512. Заменой 3 11 — 2 уравнение приводится к виду г' + Г I ' я.. 1 Г
= 1, откуда - — ; Се 2л, у — — ~ е 2л- Учитывая начальное условие, начепим окончитечьно
1 ,
у- -07(1 f
,2( I -.т)
2 V0 4 1
513. Ответ. Влт — СпгсМп^Ь^-— ' ¦
3 я
514. Произведем замену переменной — /. тогда
n 1
1 Г ! 1 \ 2 C \n(\->-t)
1 І 1 n
Имеем ln(|4-/)-i--J O(i'). Функция ІЩІ + О—' — интегрируема на [0, I], значит
t
Г lu СІ 1-0 Г 1_~
lin 1 1 II
1
1 і
Следовательно n
4_+ 0(1) = 7 «-jliin-LO(l). І »1
і
и искомый предел равен 2. 150 •
515. Взаимно однозначное соответствие можно, например, уста-I
есвить так: точке хп — д ^ интервала (0, 1) поставить в соответствие точку у,г (п. — 1. 2, ...) отрезка |0. 1], где у і = П. 1/2 = 1> Ук = ул_2(А- =- 3, 4, ...). Всем остальным точкам х є (У. I) поставить в соответствие точку у є [0, 1] с темп же абсциссами.
517. Пусть п, г2, г3, ... — последовательность, перечисляющая без повторений в рациональные числа. Для произвольного деіі-сівдтельного х положим Ах — {«: гп<Сх}; пусть А — семейство множеств Ах, где х пробегает множество действительных чисел Тогда прн х < у АхсАя (включение строгое), гак что сс мсііство А удовлетворяет поставленному условию.
