Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
i t
- \ n(t)Jt — J a(t)dl
Vi — У» =" rf ° f Vt — c * U n i/э = a;/i 4 Bi/2, где a и p — ненулевые константы. В сплу следующей леммы с ф 0 и с ф 0.
Лемма. Если непрерывная функция г(') имеет два несоизмеримых периода Л п В, то z(l) в const.
Действтельно, тогда z(t 4 А(иЛ — mfi)) = z(t) для любых целых к, п, т. Ввиду несоизмеримости Л и В среди чисел пА — тВ имеются сколь угодно малые положительные. Но тогда числа к(пА-тВ) всюду плотны на прямой. Следовательно, учитывая непрерывность z(f'), 2[t + i;) =z(i) для любого 5 и «О s const. Имеем далее
//3(0 = aVl(i) 4 Bj/2(0,
!/з(0 = y3(t 4 Tt) = aj/,(t 4 T3) 4 Р^(< 4 7s),
откуда a(j/,(0 - //i(i 4 Уз)) 4 Р(!/гС) - Ы' 4 Гз)) = 0. Значит, функция //1 (0 — .vi (' 4 ^з) имеет два несоизмеримых периода Т, а Т2 и по лемме у, (г-) = гу,(< 4 Г3) 4 const, откуда у\ (t) = у, (г +ТА-Значит, у\ (t) имеет периоды 71, и Тз. По лемме у\ (0 = coust,
а так как yt(t) периодична, то yi(t) в const, чего по условию быть не может.
476. Положим а = \— рА, Ь = ? 4 ah, тогда f(%, + ah) — —¦/(! —pft) = Л/'(5) и ясно, что /еС". Дифференцируем no ft дважды, находим a2/"(J 4 aft) = Р2/"(? — рп). или же, что одно и то же, для любых а и Ь «2/"(a) ^? Ps/"(6)- Очевидно, / —
137
константа. Если а2 ф Р2, то /" = 0 и /(х) — линейная функция. Если же а? = р2, т. е. а = В = 1/2, то /(а) — любая парабола. Проверкой нетрудно убедиться, что найденные /(х) удовлетворяют поставленным условиям.
477. Имеем
т т
1=0 1=1
т / т \
т. е. Е = - V с4л' п ? =ЧЛ I - ^ ^т^1-1 ). откуда
т
А-1 = — ^ ^т^'_1 п ^ не вырождена. 1=1
478. Для нечетных п можно взять функцию вида, указанного па рис. 12, где л = 5. Предположим, что такая функция существует для четного я. Точки, в которых принимается некоторое значение, делятся па 4 типа: «возрастания», «убывания», «касания сверху», «касания снизу». Значение, близкое к данному значению о, принимается в окрестности точки «убывания — возрастания» как минимум один раз. Большее значение, близкое к значению а, принимается в окрестности точки «касания сверху» минимум два раза. Поэтому, если точек «касания сверху» больше точек «касания
снизу», то большее значение, близкое к а, будет приниматься более я раз; аналогично точек «касания снизу» не может быть больше, чем точек «касания сверху», т. е. их поровну. Ясно также, что точки «убывания» и «возрастания» чередуются относительно друг друга. Значит, если первая точка «не касания» — точка «возрастания», то последняя — точка «убывания». Левее первой точки «возрастания» и правее последней точки «убывания» в этом случае функция меньше значения о. В промежутке между ними функция достигает максимума п раз и все точки максимума — точки «касания снизу», а это невозможно. Случай, когда первая точка «не ка-
138
сапия» — точка «убывания», аналогпчеп. Случай отсутствия точек «не касания» невозможен, ибо это значит, что все точки касания одного типа.
479. Имеем
1 а
j-L- |/ (ж) dx < / («) < J_ j / (ж) dr, а о
откуда
1 а 1 а
а [ / (*) da-< (1 — a) §f(x)dx и а J / (х) dx^ f / (х) dx. а ООО
480. При х = кп (к = 0, ±1, ±2, ...) ряд сходится. Если бы ряд сходился прп х Ф кп, то это влекло бы sin пх ->¦ 0 при и -> -*• оо, а значит, и sin (я -f 1)х — sin(rt — \)х = 2 sin х cos пх -> 0 и cos пх 0, что невозможно в силу cos2 пх -f - sin2 пх — 1
481. Обозначим g(x) = (/'(i))2. Имеем g'(x) = 2f'(x)f"(x) = 0, т. е. g(x) = const и f'(x) = const, так что f(x) = ах -f- b.
482. Пусть ф — линейное преобразование пространства Rn с матрицей А в некотором базисе е\, еп; Rn = кегфф Т; R" = = 1тф©5. Обозначим ф'=ф|г. Тогда ф': Г -»- lm ф — изоморфизм. Пусть -у' = (ф')_|, продолжим Y до линейного преобразования if пространства Rn так, что lf(i) =0 прп igS. Тогда фуф = 0 и в качестве матрицы В можно взять матрицу линейного преобразования if в базисе ей е„.
483. Положим
V (s, <) = f [ / (х, у) dx dy,
D
где D— {(х; у): — х sin s + у cos s — t < 0}. Сделаем замену переменных
х = и cos s v sin s, у = и sin s+cos s,
тогда
V (s «) = j" dv ^ f (u coss — v sin s, и sin s + fcos s) d«.
— DO -—DO
Площадь сечения тела Л/ плоскостью — х sin s + у cos s — t = 0 равна
^(s, r) = —^' — \ /(u coss — i>sin s, u sin s + p coss) du.
OO
Из условия задачп следует, что-^j > 0 прп —1 < t < 1; при t
— 1 V(s, 0 = 0 и прп t ^ 1 F(s, г) = V, где V — объем тела М. Отсюда вытекает, что каждое из уравнений V(s, t) = V/3
II V(s, t)=2V/3 ПМееТ единственное решение, Первое — ф1(«),
второе — ф2(э). Из теоремы о неявной функции следует,
139
что <r, п (fs гладкие и, тем более, пепрерывпые. Как легко видеть, ifi(s)+ Фг(* + я) = 2 и Л (я. фг (s)) = P{s А- я, ф2(я + я)). Пусть Q(s) = P(s, cp,(s)) —P(s, ф2(я)). Имеем Q(s + n) = P(s, <p2(s)) —
— f(3, Ф1 (s)) =— Qis), так что на отрезке [s, s + я] (при любом ») найдется точка sQ, в которой f(s0, фг(я0)) = P(sc, <$i(sc)). Искомые плоскости теперь суть
— х sin So -f- У cos «о — <fi (so) = О,
— x sin So + у cos S0 — фз^и) «= 0.
484. Многочлен, имеющий корни л, 6, с, запишем в виде (х— п)(х —Ь)(.г— с); тогда получим, что число многочлепов требуемого вида равно числу решений системы уравнений
