Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
439. Справедливое решение в обоих случаях вынос шея с одинаковой вероятностью р.
441. Искомая вероятность находится по формуле Вапеса
10 000 ООО'
I"» „ 1
юоооооо-1 ¦+ (1—юоооаю-1). (у)
443. Пусть в некоторой встрече участвуют шахматисты X и 7, причем предыдущую встречу выиграл X. Обозначим рх, р2 и р3 вероятности победы игроков X, У, Ъ соответственно. Очевидно, рх, р3 а рш связаны соотношениями
Р1 4- Рш + Ра "= 1»
11 4 2 1
Р1 = — 4- Рз; откуда рх= —, рг = —, рз = _.
Р| - ~ Ри
Таким образом, вероятности победы игроков А и В равныу Р14-1 5
+~Ъ~ Рз = |4"1 вероятпость победы С равна 4/14. Если первую партию выиграл А, то вероятпость победы А равна рх = 4/7; вероятность победы С равна 2/7 и победы В —1/7.
127
445. Очевидно,
(*)= ^7— = (л_п_г+Л)1М ф(г> *>•
Нетрудно проверить, что последнее выражение возрастает при за-
пг
мене /V па /V 4 1 при N <~~]7 —1 и убывает в противном случае, так
что максимум достигается прп /V = [пг/к].
447. Прямоугольник указанного вида получается, еслп указапы его нижняя п верхпяя, а также правая и левая стороны, что можно сделать(С2 + я)2 способам. Квадрат размера к"Х.к можно разместить па доске (в — к + I)2 способами, так что число таких кпад-
ратов равно ^ —™+П2=^ 8^ =-^-, ИСКОЛИ 1=1
мая вероятность равна, таким образом,
л(л + 1)(2я+1) /п(»»-г-1)\2 2 2л 4-1
/ п (и 4 1)\2 _ 6 " ^ 2 ] ~ 3 и* + п-
4^9. Чпспо определителей размера п X я пад 22 равпо 2"'. Число не равных 0 определителей пад ?2 равпо числу лппейпо независимых упорядоченпых паборов из я строк длины я. Заметим, что если а,,...,ак—линейно независимые строки, то в виде линейной комбинации Я-іСч 4 ... 4 7і«а<, иредсташшы раппо 2А различных
СТрОК ДЛИНЫ П. ПОЭТОМУ ЧИСЛО СПОСОбов ДОПОЛиеНПЯ {(![, а,,} до
линейно независимой системы (упорядоченной) из к-\-\ строки равно 2" — 2*. Таким образом, число пе равных 0 определителей
есть (2я - 1) (2" _ 2) (2" - 2") ... (2" - 2"^») = 2"' П (і - у). Отсюда дп = П ^ 1 — 1;
451. Квадрат расстояния от точки (0; я) до точки (х\ х2/10) равен і24^у— п| = 1%4 (у— о)*, где .у = я2/10. Минимум
найдеипого выражения по всем і/ ^ 0 при я —5^0 достигается при у — а — 5, а прп о — 5 < 0 — при у = 0. Поэтому для точки (0; 4) искомое расстояние равпо 4, а для точки (0; 6) опо равпо )30.
452. Дяп решения задачи докажем лемму.
Лемма. Пусть /—некоторая функция, (/„/) (х) = /'(*) — — а/(х), где а — действительное число. Предположим, что фупкцпя Их) имеет непрерывную нерпую проігіводиую па 01 речке |*с, ІІ] и /(с) =/(«О = 0. Тої да существует такая точка л* є (с, </), чю (/-./) Ы = 0.
1
4 >°-
d
Доказательство. Заметим, что(?„/)(*) = eax~^U"axf (. поэтому требуемое утверждение вытекает из теоремы Ролля.
п
Пусть теперь/(х) — ^ чкеакх. Заметим, что ?0(е") = О,
А=1
л-1
откуда^? / \ (i) = Т сй (в* ~~ й«) e<lhX- E«m функция / (*) = 4 " у к=1
п
= 2 cheCft* имеет не менее чем .V различных действительных fc=i
нулей, то функция L } имеет не менее чем N—1 различных действительных нулей. Но ф$ нкция L 1 имеет тот же вид, что и /,
"и
но с меньшим на единицу числом слагаемых. Поскольку без ущерба для общности можно считать, что ci Ф 0, то мы получим в конце концов, что функция e°i* имеет не менее чем .V— (я — 1) дейт ствнгельпых пулей, т. е. 0 ^ Л'—(я— 1) НЛП Л' я—1. Тот факт, что я — 1 нулей действительно возможны, доказывается
—1
примером: /(а:)= JT (ех — в*). Здесь показатели а,, а„ равны ft=i
О, 1.....п — 1, а корпи равны 1, 2, п — 1. Итак, наибольшее
число нулей равпо я — 1.
453. Согласно неравенству о среднем геометрическом н среднем арифметическом имеем
тем
/ 13 N25
Легко проверить, что в разложенппі 1 —-д-^ I по биному Ньютона члены (начиная с 1) і бывают по абсолютной величине. Поэтому
/ 13 N23 13 . 25 132 • 25 . 24
[1— ЗОТ] 1"~ 365 + 365і. 2 -
65 169 - 12 1 1 ~ 73 + 73а 2'
так что
11 Iі—ж)* т-
1=1 \ /
454. Определим на единичных векторах (г, у) функцию, равную сумме квадратов расстояний от прямой, проходпщей параллельно этому вектору через цептр данного правильного пятиугольника, до всех его вершин. Легко проверить, что эта функция f(x, у) является многочленом второй степени от х и у. Но этот многочлен не должен меняться при поворотах па углы 2/гл./5 [к =
В Б. А, Садовничий, А. С. Подколаиа 1^9
•= 1, 2, 3, 4), не меняющих пятиугольника. Поэтому прп указанных поворотах не меняется эллипс f(x, у) = А (А достаточно велико), что, очевидно, возможно, лишь если этот эллнпс является окружностью, т. е. f(x, у) = const. Таким образом, годится любая прямая, проходящая через центр пятиугольника.
455. Докажем, что я„ —>- 0 прп п—*¦ оо. Для этого достаточно доказать, что для любой возрастающей последовательности {nh} натуральных чисел (к = 1, 2, ...) найдется if > 1 такое, что последовательность {[т*]} имеет с {nh} бесконечно много общих членов. Докажем лемму.
Лемма. Для любых ос, В, 1 < а < (5, найдется А такое, что
