Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
= /(х) - 1. 494.
оо 1
h h
< j z(u'(z))*dz j—j-J j u'(5)dM dz. 0 ft \ ж /
(jr+h \» a+n
J b'(|)dcj <a j (в'(|))!в|,
Так как
h \a J h \ x I
2h | II
2h 2h
J1 (Л) = h j (b'(I))s In l±* dg < In JL j ? (в'{|))2 0
143
т. е. при і є (1/2, 1)
fc=n fc=0
оо ¦"С
ft=0
В итоге при г є (1/2, 1) имеем |(l_x),(s)|
(1 - х)
k=u
І. е.
lim |(1 - x) f (x) | < -y;
K-l- ^
i;ra (i _ T) / (x) = 0 n x = 1 — не иолшс для l(x). Таким образом,
предположение iirn а„ = 0 приводит к противоречию, и {«„} не
стреми м-я к 0 при я-> оо.
498. Пусть с jдовлегворяет условиям задачи и р— произвольное натуральное с условием р > с. Рассмотрим последовательность функций: /,(г) = {г + ly - х\ f-;{x) = 1,(х + 1) — Ы*), /3(.г) =/^(j-+ 1) —/j(x)____И.ч определения следует, что прп любом к /<,(х) п натуральных точках принимает целые значения. Легко видеть, ч:о
V с?(-1)"+\х-М)\
Покантсм, что /„ (х) = с(с — 1) ... (с - р + 1)хс~р (1 + о(1)) при х —»• + оо. Тогда Ига / (я) = 0, но при любом я /р (и) — целое,
п *гао
так чю для всех достаючно больших н /р(я) — 0, откуда с(с- 1) ... (с - р + 1)га«—"(1 + о(1)) =- О, г(с- 1) .. (с-р + 1) = О и с — целое, с ^ 0. По локальной формуле г1 ей лора
Позі ому
ір(ц=г'^р(-і^(і+4)'=
А=0
= хс Ус^(-
1)
Jiz±L!)fc'^' + o(*-,,))=
= хс V rfr-l) (r-i 4-І) Г 2 chp(- 1)"+" ft'I + о (zc-P).
146
Сумму в скобках можно вычислить следующим образом. Рассмотрим функцию
Ф (z) =(| - ег)Р, ф (3) = 2 С* (- 1)* eh
к=--0
tfn (0) = 2] С* (- 1)" ft'.
С другой стороны, в окрестности точки 2 = 0 ф(г) = (—l)fzf+ + o(z"), так что
ф(')(0) = (°_
при ; < р,
\)р р\ при I = р
/, (г) = ГГ-1)-/-Р+1> ^",1 + о С*-) =
= г(с_ 1) ... (с— (1 + о(1)).
3 cos с 4 cos Зх
499. Имеем ф (a-) — Cos3x =--j-, откуда
,„m, 3 (- l)m cos x 4 З2'" (- l)m cos Зх Г ' (г) =--j-
ф(гя.+ 1) (J) =. 3 (- ir+'sip .г + 32"+' (- !)"¦+< sin Зх
что н доказывает утверждение.
500. Пусть А ф 0, =5^= 0. Возьмем матрицу X = ||xmft||
КуЮ. 410 Tji = 1 II X,,,j, = (I Прп (|Л, ft) =5^ (/, f"). ТоГДЯ
" su si при 1ф1,
т. e. tr(,4 Y) ^ 0 — противоречие.
501. Пусть я п 6 таковы, что при некотором с уравнение имеет три положительных корнн. Тогда р (x) = x3 -f ах2 + Ъх 4 с имеет локальные экстремумы в точках х,, .т2 > 0, т. е. Зх5 + 2ях 4 Ъ имеет два разлпчпых положительных корня. Обратно, если существуют два разлпчпых положительных корня данного трехчлена, то прп некотором с уравнение имеет три положительных корня. Корни данного трехчлена равпы -д(—я + "J/'а2— 3ft), откуда
я2>ЗЬ, — (о + }'а2 — 36) > 0, т. е. я<0, а2 > а2 — ЗЪ и Ъ > 0. Итак, трехчлен имеет два полоиштельных корня при Ъ > 0, я< <L—УЗп, а рассматриваемое уравнение имеет не более двух положительных корпей прп всех действительных с, если лпбо b ^ О, либо о ^ — УЗЛ.
502. Пусть /(х, у) = 5х2 + llxj/ — 5у2, a — min / (х, у).
(r,«)ez!
1огда 0 < а ^ /(1, 0) = 5, причем а — целое. При любых х п у, 10* 147
при a —* + 0;
/,(Л) = Л j" (u'(S))»ln*+lrfS.
2Л
По произвольному є > 0 выберем к — Х(е) > О (К < 1): ь| («'(!))»1п*+1 < іп-5.у Е(и'(\)У*\ < в
2л О
дчя всех Л < к/2,
і 1
Л | («'(Б))11и ?+1 </5 < 1п (і + х) I ^ ("'й»1 гі« 0 * о
прп Л + 0.
495. Так как е„ > 0, то достаточно доказать сходимость ряда
сю «>
V V
П-1 Й=1
/с2 + п*
Но
У %_ = с v
^ fc» + п8 n
п»1
так что ряд
71 ^ ь
к-і
V V
_<с г ** ~
*= 71 J а'2 + л2 О
о
к1 ¦
2 л •
мажориріется сходящимся рядом
V JLAl Лш 2 л
п=1
496. Обозначим а
"=1fe=l и в силу эюго сходится.
mm \f(x,y)\. Нужно доказать, что (.•v,v)ez'
<х,«ьи
а< (4D/3)1/S. Так как форма положительно определена, то существуют целые и, v, не равные одновременно нулю, такие, что а = ¦= f(u, v). При этом, так как а — минимум, числа и и v взаимно простые. Найдутся целые г, s такие, что иг — vs — 1. Рассмотрим форму g(x, у) =f(vx + sy, vx + ry). Так как определитель преобразования равен 1, то дискриминанты форм fug одинаковы и множества их значений на Z2 совпадают. В частности, а = —min \g(x, у)\. С некоторыми действительными ? и у имеем <x,v)ez»
g (х, у) - ах' + 2?ху + у у* - а ^ + -^yj + у*.
Выоерем целое v так, чтооы
Р І 1
v 4- — | < — > тогда а < | g (v, 1) | <
<— + —. откуда а* < — D.
497. Пусть Sn (х) = 2] "hxh и 0(] (л) = ^ zft. Если lim яп=
— 0, то дли любого е>0 существует'Л' такое, что прп п ^ N
е
|п„|<б/2, т. е. для всех іє(!/2, 1) при п > N ~ ~ <
.?nW-ViW в <-„ , ...—--Т7Г<~Т- Так как 0,1 (J) — o„-i(x) >0 при r=a
t= (1/2, 1), то
к
— Т (сл+1 (¦*) — aN < 5л'4-і'г)—5л/(*)<
< "Т (°W + 1 W - °Н <*)),
f.
— Т (0л'+2 cn + 1 <r)) < SN+2 (х) - S.\ + l (Г) <
f
< — (ол'+2 (г) ~~ cn+i W),
- — (о„ (г) - (х)) < ^«-«„..(гХ — (о„ (г) - оп-1 (х)). Ск іадьівая 91 и неравенства, получим S„ (х) - 5iV (j)
on U) — оЛ U)
f
при n > Л', л: є(1/2. І). Заметим, чіо для всех іє(1,2, 1) справедливо неравенсіво
0„ (X)
6'.v (т)
s„m-s Л.(г)
а„ И - °л W
Оно следует из летко проверяемою юл.дества
