Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 36

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 65 >> Следующая

= я > с 4 6 ! я".
Обозначая (о, я) — (6. і/) через Сі(«"-( б2) н (6, я) I (я, #) через с2(я24б2), почучнм
а . с 1 6
* = —-ЖТЪ~1-+ еіи "І < А Р)
Умножая первое уравнение слева на Ъ векторно, а второе слева на я векторно и вычитая из первою второй результат, получим
—і/(а2 + б2) 4- 6(6, у) 4 Я(Я. 1/1 ] Я(6, X) — 6(я, х) = 6 . с—и/Л,
откуда
а (1 — Ь \ с ,,,
0 =-7Г1—Vі-+ ґ'я _ г»6- '
Чтобы паііти С] п с2, подставим (2) п (3) в систему. Подстановка в первое уравнение дает (— я (а. с) 4 с - я2 — 6 (а. я") 4 я" (я, 6) 4 я (6, «") — «" (а. 6) —
«- 6 (6, с) -1 с Ь-) (я2 4- б2)-1 + с2 (я я 6) 4 сг(Ь> а) =- с 4-
я ((6, ^/) — (я. с)) — 6 ((я, тЛ (6, с)) + иг | ^2 = С
при любых С[ п с2. Аналогично второе уравнение прп подстановке (2) н (3) тоже обращается в верное равенство нрп любых С| и с* Таким образом, найденные выше условии,(I) достаточны для существования решения; это решение дается формулами (2) п (3), где с, и С2—произвольные постоянные.
423. Рассмотрим параболу у — ах2, а > 0. Нетрудно проперить, что ее внутренность расположена внутри острого угла, образован-
Ата
ного прямыми у = 4 А-? — -т^-, где к >¦ 1, п для достаточно большого к этот угол можно взять сколь угодпо малым Поэтому, если бы плоскость можно было покрить внутренностями п парабол, то се можно было бы покрыть и впутреиностямп п углов величиной е < 2л/н. что, как легко убедиться, невозможно
425. Пусть Л и Я = |— 1, 1], /1(1В=0, причем хеА х 4 я є Я. где а > 0. Пусть х є А п і -|- 2я < I. Тогда х + 4 а є В и, если і + 2(ієС,тоі-гиєЛ - противоречие. Поэтому
125
124
х -\- 2а є. А. Очевпдпо, наименьшая течка В есть —1 + л, так что [—1, —14- я) с А. Кроме того, (1 — я, 1]с В, так что при іє А имеем х ^ 1 — я. Пусть [—1 + 2ля, — 1 4- (2л + 1)а)сЛ при некотором целом л 5= 0. Тогда [—1 + (2л + 1)«, — 1 + (2л 4" 2) а) с В и —1 4-(2л + 2)я = —14- 2лд + 2а < 1, так что —1 4-(2п + 2)яе А и —1 4- (2л + 2)я ^ 1 — я, т. е. —1 + (2л 4- 1)я 4- 2а < 1. Поэтому [—1 4- (2л 4-2)а, — 1 4- (2л4-3)а) с: л, и множество А неограниченно, ибо содержит точки —14-2ля(л = 0, 1, 2, ...) — противоречие.
427. Пусть ф — рассматриваемое отображение, х Фу и г — точка, лежащая на прямой, проходящей через ф(х) и Ц)(у) и находящаяся на расстоянии п от ф(х) и г2 от (р(у). Нетрудно заметить, чго г по Г| и г2 определяется однозначно, так что г есть образ точки г', лежащей на прямой, проходящей через х и у и находящейся на расстоянии Г| от х п г2 от у. Итак, образ прямой при ф — вся прямая. Если прямые їх и 1г пересекаются и не совпадают, то в силу взапмпой однозначности ф их образами служат различные пересекающиеся прямые 1ц и '2- Пусть теперь х1—произвольная точка плоскости, не лежащая иа I] и 1%. Проведем через нее прямую I', пересекающую 1г и 12в точках ф(хі) в ф(х2). Тогда I' — образ прямой I, проходящей через х\ в х2, так что х' принадлежит образу плоскости при ф.
429. Пусть \АВ\ = я. Введем систему координат так, чтобы А = (0; 0), В = (я; 0). Пусть в этой системе координат С имеет координаты (р; д). Если д = 0, то Ф, очевидно, состоит из прямой, проходящей через точки с коордппатами ((р4-я)/2; 0) при р>а а (р/2; 0) при р < 0 перпендпкулярпо отрезку АВ. Пусть д ф 0. Если 0 ^ х ^ а, то расстояние от (х; у) до АВ равпо у, так что
условие запишется в виде у2 = (х — р)24- (у — д)2, їлму = ^-_|_ (х — р)г
-}--^-• тат{ чт0 па отрезке [0, »] фпгура Ф представляет собой отрезок параболы. Прп х < 0 Ф состоит из точек (х; у), лежащих на прямой, проходящей через середину А6 перпендпку-
р2 4- о2 р
лярпо к АС: у— —2^—— ~^ х- Аналогично прп х >¦ я Ф со-
р2 4- ?2 — а2 р — я стопт из точек (х; у) таких, что у =-2^-— —д— х-
431. Для установлення взаимно однозначного соответствия между точками замкнутого круга К радиуса 1 и открытого круга К' того же радиуса рассмотрим систему окружностей Кп радиуса 1/л с центром в центре круга К (п = 1, 2, ...). Тогда (если считать
ОО ОО
что цептры К и К' совпадают)! А'\ и К — К'\ (] К , так
П=1 7!=2
что на этом множестве можно определить тождественное взаимно однозначное соответствие, после чего взаимно однозначно отобразить каждую окружпость Кп (л = 1, 2, ...) круга К на окружность Кп+1.
433. Корпи Л'-п степени из едпнпцы изображенные
на комплексной плоскости, образуют вершины правильного Л-угольнпка, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в точке г = 0. Поэтому искомое произведеппе длин диагоналей
12G
равно ІЇІ (1—z,)! где z, = 1. Но IJ («— "гЛ = zN — 1, zN — 1
П (г — г{) =-— = l + z-f- ... + zN— 1 прп z Ф 1, причем
в силу непрерывности П (z — Zj) это равенство верно и при і = 1, так что | Ц (1 _ z .\ j = //.
435. Пусть М — множество предельпых точек множества 4". Легко проверить, что М замкнуто. Так как все точки Л изолированные, то А П М= ®. Поэтому А - (А Ц'Ю П (К\Аі), іде А (J М— замыкапве множества А: Я\М — дополнение М до прямой R— открыто.
437. Будем рассматригать М, как точки па комплексной плоскости: г, = Xj + іУі- Многочлен /(х) = (г, — х) ... (z„ — х) имеет степепь л, причем вначопия его в точках Ах, Ап+\ дейсиш-тельны, так как по условию сумма аргуменюв чисел zt — А, равпл пулю. Представим /(г) в веде p(z) -+¦ 17(2), где p-(z), д(г) — многочлены с действительными ко іффвцленгамп степени, ие болі шей п. Так как g(z) равен 0 в точках А,, .... И„ + |, то о (г) ез 0. Поэтому /(z) —многочлеи с действительными коэффициентами, т. с. коронні его служат, помимо zi, zn, также и числа х,, ..., zn, что и означает симметричность множества {М., М„\ относпгельпо оси абсцисс.
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed