Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
оо
U [ah, f>h — l] содержит полупрямую х> А. 1
Так как а* —*¦ оо и р*—*¦ оо прн к —>- оо и ос* < В*, то достаточно показать, что a*l+I < В* — 1 при больших к. Пусть 6 = = а + о, а > 0. Тогда
рь _ 1 _ aft+1= (a + a)h — ah+i — 1 > aft + ftaft-1a —
_ aM-l _ ! > ak-i ^ka __ a2 „ -^rrj.
Прп к ~> (a2 + l)/o нужное неравенство выполнено.
Возьмем два произвольных числа ai и р\, удовлетворяющих неравенству 1 < ai < В,. В силу леммы существует к, такое, что отрезок [a'i*, Pi' — l] содержит точку последовательности {nh}.
... I l\Vhl
Пусть это »]. Положима2=п1' P2=l"i +yl .Тогда [а2, Нс
c:[«i, Pi] и для любого х е [осг, р2] верно соотношение Ix]1] = щ.
В силу леммы найдется такое й2, что отрезок [a*1' Р*'—]]
содержит точку последовательности {nh}, отличную от П|. Пусть
i/i _и 1 i1/fe*
это п2. Положим a3=«2i Рз=(п2"т"_2"У • Тогда [а3, р3] сг
с fa2i Рг] и [я#«] = 7г2 для любого i е [а3, В3]. По лемме находим к3 такое, что отрезок [ct3'i*, р3 3—1] содержит точку га3 последовательности {пк), отличную от первых двух. Строим отрезок [«4. Р4] cr [а3, р3] такой, что!*'1*] = п3для любого яе[а4, р4] и т. д. Получаем систему вложенных отрезков, в пересечении которых
имеется точка f такая, что [уЙт] = пт (т = 1, 2, ...).
оо
V? хп —
456. Если бы ряд / ——е "равномерно сходился, то для лю-¦*¦„ л!
я=0
N
бого е > 0 существовало бы такое Л', что sup
х>0
что невозможно нн прп каком е < 1, поскольку
/ N
lim 1 —
«-»+00 I
п=0
< є,
130
4о7. Пусть р — числитель написанной дроби, 9 — ее знаменатель. Тогда рп — qn3 = sin я = 0, откуда p/q = я2.
458. Будем вычислять /
С dx
J Vchx-1
+ а
; где а = 0,01.
Прп |х| ^ А заменим ch х на 1 -f- х2/2, а прн \х\ ^ А заменим с& на 0. Вычислим получившиеся интегралы: А
= 2)f2lD {и+УТ+1Г9), и = _1
К 2«'
j4
= 1
/1 дает хорошее приближение к интегралу прп |х| < А, когда А мало по сравнению с }'12, а /2 дает хорошее приближение к интегралу при |х| 5» А, когда А велико по сравнению с ]2а. Выбрав
А большим по сравнению с }'2а « 1/7 и малым по сравнению V12; «3,5 (например, взяв А = 1), получаем
Л (А) + 12 (А) = 21/2 In J(u + УГ+72) cth
Но при нашем выборе 4 число и = Л/У2а велико, а число 4/4 мало, поэтому
и + 1/ГГ? % 2м, ctli X ^ 4"'
(в +¦ 1/1+ и2) ctli
8и /4
V 2а'
9*
131
Итак,
1x2} Tin -j=r = 2|/21п 8 ] '50 ^ 2,8 In 5,6 =fc 11. V2a
Легко проверить, что суммарная ошибка всех сделанных приближений много меньше 20%.
459. Функция /(г) = sin (3 aresin х) определена при хе е [—1, 1] и на отрезке [—1, 1] совпадает с многочленом р(х) =» = Зх — ix1. График ее имеет вид, указанный на рпс. 8.
460. Поскольку i-lni-sini-+ + оо при х -*¦ + оо, a arctg у -* л/2 при у -*¦ + оо, то lim arctg (х — In х • sin х) = л/2.
461. Пусть полушар лежит на плоскости (г, у) в пространстве, снабженном декартовыми координатами (х, у, г). Пусть он расположен в полупространстве г^Ои имеет радиус R > 0. Тогда его
1
А/\' Л l\
N : \/
Рпс. 9.
А
^С._ .......— ----- Шг
7
Рис. 10.
2
объем V равен -g- яЯ3, а центр тяжести лежит на оси г и имеег 2-координату.
\ (' 12 „„\-1 3/?
462. Заметим вначале, что график функции g(t) — sin t2 имеет вид, указанный на рис. 9, где каждая следующая волна )'же предыдущей. Далее легко проверяется сходимость интеграла
sin tsdt, т. е. существование предела lira /(х)
А. Из предыду-
щего замечания ясно, что А > 0. Учитывая соображения четности, получаем окончательно график, изображенный на рис. 10.
463. Пусть к—высота цилиндра, г—радиус оснор^ния. Тогда
= R2 и объем цчлипдра V = лЬ (я2—Ну ум этой функции от h на отрс
я(/?г — Т;'г)- Есл" Пл)=0' тп h
^но нантп Имеем
на отрезке fu. 2R]. 2
—= R. Очевидно, \ 3
что в этой точке действительно фунь'цня принимает максимум, 4я
равный ^ Я3.
464. Поскольку функция /(х) = х -f- ех имеет потожптельную производную /'(г) = 1 + e"i то она строго монотонна я, следовательно, принимает каждое значение не более чем в одной точке. Поэтому из условия х + ех = у -f- с" следует, что j = у и, следовательно, sin х = sin у.
465. Кривые имеют вид, указанный на рис. И (картина периодически повторяется по к с периодом 2л). Кривые, лежащие в
Я
К
-п
Рпс. 11.
области 0 <С у < я, при х —>- — оо асимптотически приближаются к осп х, а прп х —> + 00 — 1; горизонтальной прямой у — л. При у > я/2 они выпуклы вверх, а при 1/ < я/2 выпуклы вниз. Прямая у = л/2 состоит пз нх точек перегиба. Все эти кривые получаются друг из друга сдвигами по направлению осп х. Картинка в области — я < у < 0 получается отражением относительно осп у — 0.
466. Покажем сначала, что прообраз пропзволг.поп прямой 1' есть некоторая прямая. Пусть А', В', С' — три различные точки
133
прямой I'; А, В, С — пх прообразы. Если А, В, С пе лежат па одной прямой, го проведем через них окружность п, п' — п (л) — тоже окруигноегь, причем имеющая три общие точки с V, чю невозможно. Поэтому А, В, С лежат па одпой прямой, обозначим ее I. Имеем ф-'(П е1 Пусть найдется о е !\ф-1 (!'), а' = <р(о). Проведем через а' прямую ч, пересекающую V. Очевидно, <р-1(у)е е!; если точка Р не лежит на прямой 6, проходящей через о' параллельно V, то через Р можно проиести прямую 1Р, пересекающую V и у в двух различных точках Р, и Рг и, так как Ф_|(РО. Ф_1(Р2) е/, получить, чю и Ф_1('я) вместе с точкой Р лежит на I. Таким образом, прообраз всей плоскости содеря;птся в объединении прямой I с прямой, па которой лежит прообраз прямой б, чего быть не может в силу взаимной однозначности ф, и получаем ф-|(0 = I. Пусть теперь I — произвольная прямая и Р, О — две ее различпые точки. Рассмотрим прямую V, проходящую через ф'(Р),ф(С); ф~'(0 есть прямая, проходящая через Р п (), т. е. Ф~'(0 = I и I' = ф(/) —прямая, что и требовалось доказать.
