Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
519. Пусіь найдется сєВ такое, что
с*и п и((лй\1.«)и.1;(ил71).
ІЄІ ІЄ.І /іЄІ
Тог ід для ьаждого і є / с є.4,-/ и для каждого ії/ существует такое /є/ (обозначим ею ([(ОЬ что с ^Ащі)і • се=(~| (-^(і)/, и •'(„)• Если с є .1^(і)й, то из последнего соотно-
шення находим, что сє.І,*. По.) тому для любого і є / при ш ^ п с є •1ч,'Л(і|Чл(і)('», « — целые неоірццаїе.чьньїе). Если т ф и, т <
< П. ТО СЄ [фШ( ІІфп—1,,-р С<? -\..1(і)(1л-1(і,. т. е. гхт(0 Ф"(');
что противоречит конечности множества /. Если / = {I, 2. ' бесконечно и
' *~\ прн «>/,
то, как легко проверить, равенство нарушается
521. Для произвольного в c= е обозначим в1 = в. в" = ?"n в, Iljcib также <?.= ¦-Ijdund u)+i ('(lllod'0 — осі ai 01; от делена
t на її). Расе мої рим множества 0Q = [~| С"', где 0= (ol, ..., o„)
tel
набор из нулей и единиц. При Оі Ф о2 f] D — В и. как
легко заменит., каждое множество, получаемое из множеств С, оне|Миинміі объединения, пересечения и дополнения множеств, и рече ганимо в виде объединения некоюрого числа множеств D„. По.ному чист .1/ множеств, получаемых н.і С,- указанными операциями, равно 2У, где .V — число неп,\сіьіх множеств De. Заметим, чю D„ = 0 прн о. =o-.(tnodn)+1 = l. Поэтому N іг(л), где ip„ —
число наборов о = (о,.....о„) из нулей и единиц таких, чю ни
при каком г не выполнено о{ — o;(lno(J =1; будем называть та кие наборы допустимыми.
n
.17;
Если множества ..., .!„ іаковьі, чго Ф при любо
Г=1
0= (о....., о„), то при доиуешмом о, как легко проверит
N n
выполняется (~| Л°1 Q (~| С°\ т. е. О0 Ф 0, так как равенство
:
1=1 1=1
151
Л' = сг(гс) возможно. Если (сі, ..., о„) — допустимый набор, то набор (0|. ..., о„. U) допустим; если (о2, • - •, 0„) — допустимый на-бо]і. то при о„ =1 допустим набор (!, 02, ..., о„, 0), а при о„=-0—-набор (о. ог.-•-о». 1). Тян как этим перечислены без повторении все допустимые наборы длины п -f 1, то (|ф»+ 1)— Ч'(")+ чЧ"- 0-Учитывая = 1, ||(2) = 3, индукцией по п доказываем, что
ф(м) ^'_LAJ -f- ~^ J j (<|(1) — 1 в силу того, чю набор
о = (I) недопустим, ибо Oj = Oilm(ldl)+ |— I, где І(шоіІ 1) — 0). 523. Пусть действительное х > 1. Обозначим S(x) бесконечную последовательность и\. н2, .... где и„ = 22"(2[ниг] + I)2. Покажем, что при а> 1, и > 1, х ф у н натуральном с неравенство | "m1 — | <с выполняется длн конечного числа пар (nt, я), здесь и';}'*— член с номером т иоследовагельностн S(x) и u(rj" — член с номером л последовательности S(u). Для этого достаточно показать, чю если xuiu бы одно из чисел т а я больше, чем
с + тг=7Т то I2""'*2l'"jJ~'г 1)2~ 2""(2["у] + 1)*'>°-
П\сть ні либо л больше, чем с -j- j t _ |, 2"'(2 [нм-1-f 1) =
2" (2|пя] '- 1). Тогда га = я и [им] = fm;/], т. е. |т.т — ліу| < < 1. откуда яг = я < 1/ | х—у |, в ю время как но предположен ню
т либо и больше, чем с + _—!-.. Полому 2'" (2fтх] + 1) =?ь
\х — У\
Ф 2"(2\пу] + 1). Но
\2?™{2[тх] + 1)2-2»»(2[пу1 + 1)2| =
= \2"'(2[тх] + 1) -2"(2М + і) I X X |2"(2[«j:] + I) +2"(2[л,/] 4- 1)| S* 3* |2"'(2L'"t-] + 1) +2"(2[пу] +1)\>
> 2'" + 2" > га 4 я > с 4 ! ^ _^ ! > с,
что и требовалось.
525. Пусть {гі, г2, ..^—последовательность, перечисляющая без иоыоренин все рациональные числа. Обозначим их = /(г,). Очевидно, достаточно доказать существование таких последовательное гей {"і1'). { "І2') 11 ( "ї3)Ь перечисляющих без повторений все рациональные числа, что и{ = я(1) + и[2)+ "(3)(тогДа Фу('і) = = и\>\ j = 1, 2, 3). Положим u\l)-= rlt і/,2) = и„ я,:,,= — гх. Пусть при к < и уже определены чпены я1ь;) (/ = 1, 2, 3). Если я = = 3/ — 2, то пусть н„ —первый член последовательности {'"і, т2, ...}, отличный от членов "j,^ где к < и, и,,2)— первый член
(О) (1)
той же последовательности, отличный от членов uh~' и ип— н„'—¦ - где к < п, и;;'" - »„ - «і, - я",- Тогда я[,;) ? при
к < я. Если л = Зі — 1, то всюду в вышеприведепном определении
заменяем я}1' па н'; , н' па и] ' п я;' на я|". Аналогично, если я = 3/, то заменяем н\,) на н(-,,), н';2) на и';1' п н|3> на i/j2)- Легко показать, что построенные таким образом последовательности и[ перечисляют без повторений все рациональные чшлд, причем
527. Существует. Пусть функция g(x) = e'cosx задана на Я\ где определена обычная топология. Легко видеть что g отображает fl1 в Л1 непрерывно, однако образ открытого множества (—оо, u) не является открытым; множество лл: п — 1, 2, ...}) не яв-
ляется замкнутым.
529. Множество M связно, поэтому любой непрерывный образ этого множества евнзен. На прямой всякое связное множество имеет вид (а. ?), (а, ?], [а, р) либо [а. ?], где — oo^ot^?^-foo. Покажем, чю каждое из этих множеств есть непрерывный образ 1/. Отображение /: -1/ —>- R. /(j) = р(г, оп) (расстояние or а0 до а-), где я0 == (л, я) переводит Л/ в (0, + оо), а так Ith к все интервалы прямой гомеоморфны друг другу, то каждый нптервал есть образ 1/. Рассматривая к'омпознцню отобраїкення AI на всю прямую Я и отображения х—>- \х\, получим непрерывное отображение M на [о, -f 00), так что любой полуинтервал — образ Iii. Композиция отображения ЯІ на Я н отображения /(а) = sin г отображает M на [—1, I]. так что любой отрезок — образ .1/. Наконец, отображение /, переводящее каждую точку M в константу а, непрерывно, так что каждая точка (т. е. множество [а, а]) —образ М.
