Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 39

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 65 >> Следующая

467. Сопоставим точке I е [я, Ь) точку плоскости /(<) с координатами '
Тогда f(t) непрерывно отображает полуинтервал fa, Ь) на окружность радиуса 1 с центром в точке (0; 0). Очевидно, /~'(Р) разрывно в точке Р с координатами (0; 1).
468. Пусть неверно, что Е — ВА обратима. Тогда существует непулевой вектор X такой, что (Е — ВА)Х — О, X = ВАХ. Обозначим Y = АХ. Так как X = BY, то Y Ф 0. Имеем (Е — ЛВ)К = = Y — Ml Y =---- Y — АВ(АХ) = Y -АХ = Y— Y = 0 и (Е — А В) вырождена — противоречие.
469. Пусть ф(х) = (sin і) -2 — х~2, ф'(х) == — 2 (sin х)-э cos х + .4- 2х~3. Имеем
,, „1 сп= х «in г ф'(х) > О 6Ф >-^Гх г -х>0.
у COS X
Обозначим ф(х) = sin x(cosx)-"3— х. Имеем
Ч)'(х)= (cosx)2'3 4 -L (cosx)-4/3 sin 2х— 1,
О
2 4
<])" (х) = — y (cos х)-1/3 kill х 4 -g (cos х)-7/3 bill8 X +
4 "з" 9Ш X (COS Х)"1/3 = -д" (COS х)~"?/3 Sin8 Xi
Прп х е (0, я/2) ty"(x) > 0, так что ф'(х) монотонно возрастает и, учитывая ф'(0) = 0, ф'(х) > 0. Это означает, что г])(х) монотонно возрастает на (0, я/2) и, так как ф(0) = 0, ф(х) > 0. Наконец, из монотоппого возрастания q: (х) находим, что ф (х) ^ ф
= 1__— что и требовалось.
и2
470. Пусть все корнп уравнения действительны; обозначим их а,, я» (Я1< ... <я,). Если к,, кв — их (кратности, то к, 4 ... 4 к, = 5. Обозначим /(х) = х5 4 ах4 + Ьх3 4 с. Если ki> > 1, то (ii — корень /' (х) кратности kt — 1, так что сумма крат-ностей корней /'(х), содержащихся средп ah...,a„ равна 5 —я. Кроме того, /'(х) пмеет корень bi, заключенный между Я| и 0(+| (всего ^ я —1 таких корней), и если хотя бы один корень bt кратный, то сумма кратностей корней /'(х) будет ^ (5 — s) 4 s=5, что невозможно, так что все кратные корпи /'(х) содержатся средп я,, я,. С другой стороны, 0—корень /'(х) кратности 2 и не корень /(х) — противоречие. Итак, уравнение имеет хотя бы один корень вида я 4 Ы, где Ъ ф 0. Но тогда а — Ы — тоже корень уравнения.
471. Возьмем произвольное е > 0, е < с, и выберем в,: 0 < е,<
<е2/4с, т. е. е, < с/4. Пусть при В > В0 выполняется j"|/(x)|ax<
О
< eifl. Возьмем любое х0 > В0, тогда имеем
X
/(*)=/(*о) + J" f'(t)dt.
Рассмотрим два случая:
а) /(х0) > 0. Тогда для каждого х е (х0/2, х0)

/(х) >/(х0)- — (х0-х).
/ (хп) 2с
Обозначим xi=x0— ¦ 2с х' ПРИ х е ж°) ^о)~~х^^т° ~ ^ >0-
*0
Если бы имело место х, х0/2, то е^Хо > | | / (х) | ах >
х 10/2
>Нхи)-^; т. е. /(х0) < 4е,, а с другой стороны, /(х0)х0/2с > х0/2 и
/(х0) > с, но е, < с/4. Поэтому х, > х0/2, так что при хе (х,, х0)

/(*) > /(х0)- — (х0-*) и
«о
eIx„> j /W & > /(-o)(Vll= g'
»1
откуда /(x0) < 2Vce, < e.
б) /(xo) < 0. Тогда прп x Jj> x0
|/(х)|>|/(хоП--^ (*-*o)
и, интегрируя по (х0, xi), гдех, = х0 4 — I / (х0) I, получим
Ха
135
так что |/(х) I < е.
134
472. Рассмотрим матрицы Е, В, В1, ...,?". Эти матрицы линейно зависимы, так что для некоторых а0, аь____ а,, » ^ я2, имеем
ааЕ + а,В + ... + а.^В'-1 + В'= 0, или р,(В)=0. Индукцией по к легко показать, что ЛВА — В* Л = кВк-уС: при А = 1 это верно, и если это верно для к — 1, то ЛВ" — ВМ = (ЛВ — ВЛ)Вк--> + + В(ЛВ"-1— В*-'Л)= СВ"-Ч-В(? — \)В«-2С= кВ*-*С. Поэтому
Ар, (В) - р8 (В) /4 = ахС 4- 2а2ВС 4 ¦ • • 4 *В*~1С = С// (В) = 0. Далее ЛС/^ (В) — Ср\ (В) Л = С2/;'' (В) = 0; продолжая аналогичным образом, получим в конце концов равенство в\С' — 0, т. е. С- = 0.
473. Рассмотрим полином г(г) = {р(г) —о(-г))//(г). Пусть (без ограничения общности) и^/>(г) = п ^ о^с(.г). Тогда degr(z) ^
2п — 1. Если со — корень р{*) кратности А-, то р(и>) — о(ы) = 0, со — корень р'(г) кратности А- — 1, так- что со — корень г(г) кратности ^ к. Аналогично, если ш — корень р(с)—1 кратности А, то со — корень г (г) кратности ^ А-. В результате сумма кратностей корней г(:) не менее, чем 2я, т. е. г (г) = 0 и р(с) = я(г).
оо
474. Функция ф (х) = > ^—¦— определена при х > 0 (признак Дирихле). Рассмотрим последовательность
ь а
Для нее g(п) — g(n — 1) = (— 1)(") при п ^ 1,
п=1
Пусть я- > 0 Пользуясь преобразованием Абеля, находим
= -4"4ф(^).
Докажем, что ряд для функпнп V(x) равномерно сходится при 1^0. Тогда ф(х) — непрерывна на л : ^ 0 и
Hm ф (х) = -1 4 Hm * (х) = - 4 4 V (0) = -1.
оо
1.1 V"
Опозначпм а (х)= —— — —1-—, тогда ф (х) = > g (п)а (х).
" я (я 4 I)
Воспользуемся признаком Дирихле равномерной сходимости. Ввиду 136
(1) достаточно проверить, что в каждой точке і. і > 0. последовательность а,,(х) не возрастает н на множестве т^0 «„(л)Г5 0. Монотонность последовательности следует из представлення
ajx) =— fl —-.-"TTjV в котором каждый сомножитель с рос-
ЛЧ ('+-«-)/
том п не возрастает. Из этого же представления при х є [0, 1] 1 111 \*п1*Ц<1-7-Г?<1--Г=ТТ1<^1
и при х > 1 |я„(.г)| 1/м* < 1/и. Таким образом, suy |«n(x)|< 1
¦<—, так что "n (х) ^ 0 на множестве х ^ 0, и искомый предел равеп — 1/2.
475. Возьмем две периодические гладкие функции ij\(t) и yz(t), j/i(0 > .'/2(0. и потребуем, чтобы они были решениями уравнения. Тогда относительно a(t) н b(t) получится простая разрешимая система. Итак, два решения возхгожны. Покажем, что трех решений быть не может. Пусть решения i/i('). J'H') 11 !Уэ(') имеют несоизмеримые нериоды Ти Т2, Т3. Тогда
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed