Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Гис. 13.
многочлены с целыми коэффициентами, причем дли каждого простого делителя р\ числа .V ни коэффициенты А{х), ни коэффициенты В(х) не сократимы на р\. Если N Ф 1, то, взяв произвольный такой делитель р,, найдем, что Л(х) Ф 0 (шоіірі). В(х) Ф 0 (тот! рі), т. е. для подходящего целою х Л{х)В(х) не делится на рі, что невозможно, так как Цх) — целое. Таким образом, Цх) = А (х)В(х) — противоречие.
553. Функция /(.г), очевидно, бесконечно дифференцируема. Ряд Маклорена ее содержит лишь члены четной степени х. Для абсолютной величины члена порядка 2к этого ряда справедливо неравенство
a;s*e-"it4*/(2A-)! > (п*х/2к)1ке-
хфО.
(;t = 0, 1, 2,...).
Полагая, в частности, п = 2к, имеем
(n2xl2k)2ke-n = (2кх1е)1к > 1, х Ф 0, и — любое, к > \е/2х\.
Отсюда следует, чго ряд Маклорена функции f(x) расходится при всяком х ф 0.
555. Положим б = n~s 5. Тогда
-}-оо оо - ?
COS x
¦ dx.
(' COS .к Г COS x і"
\ -;г dx = 2 \-- dx + \
(і 4- х2)"
156
Оценим первое слагаемое. Имеем
' cos х С dz
(1 4- *Т ^ ^ J (Г
о
б
Сделаем замену х = 1 (1 + й2) у — 1- ТогДа
ч1-я
(1 + *-г
J (1 + *Т J21 (і + 6а) г/ — 1 J/n ^2 .)
6 1 1
при п S* 2. Далее, Hm У~п(і + л_і/5)1_" = °- Значит,
dy
n->oo
-1-30
- С COS Г ,. Г COS J-
n-*oo J (14 П 'i-*130 J U т * )
-— ос —0
In cos x — л In (1 4- x*) = -|«4 4") + "° (x4>' Так как z4 «S б4 ^ х~*1ъ на [— o, б], то на этом отрезке
In cosx - я In (1 4- x2) = - [n 4- 4") + °( "_3 3)"
Имеем
„_.ло ,1 (1 "Г xі) ll^oo J
-6
Сделаем замену
тогда
lim I n \ е v ' ds =
П-.О0 ,1
-6
= Hm Lu_^= f Г»>,= 1 f»'rf, = lx
j/n+4-
-*1 »+i
157
557. Обозначим вир |\7/(.г) | =/с п возьмем произвольное !¦.,<=/?" Тогда для любого гей»:
f(x)=J
1
= /(*о) +
6.1
1 (*о + * (г — *[,)) Л '
1
= / (^и) + | (V/ (х0 + Цг — х0)), х — хи) Л,
откуда \}(х).\ \Нх0)\ — к\х — х0\. Интегрируя последнее неравенство но шару \х — хв\ < \/{хо)\/к, получим
СП |Ж—ЗСп|<р(Х0)|'й ^ '
к"
где ы„ —объем и-мерного един![чного шара, откуда и вытекает тре-буемое неравенство при с = ((и + 1)/ып)1/'"+1). 559. Рассмотрим сначала функцию
п=1
п покажем, что Имеем
ф«(1 + И) Ф 0 для любого (,(ей.
4 1
Не ф, (1 + ц) = ^ 7 СМ (i Ь П.) > 1 + 4" СОБ * - у + 4"
СОБЛг -
71=1
(где положено я = г 1п 2)
=1 -4+4*со8 *+4"(2 сой21 -л=1т+4("+и2) >
(где и = соя х)
5 1 > ТГ -г — пнп (и 4- и») " 1«К1
12 ' 2 ^ 4 ] - 24
В итоге Не([4 (! + »)> 7/24. Следовательно, ф4(1+ О при
«ЕЙ. Из Проведенных ВЫШе ВЫЧНСЛеННН ЯСНО, ЧТО (Г (г) = ф5(г) и
Ие «Г. (1 + и) > Пе ф1 (1 + «) - 4 > "и" - 4 = Таким образом, сг (1 + «) =^0 при « е Л.
Дополнение
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЯХ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ТЕИСТЕ
В настоящем Допо.тпоннн собраны оснолпые определения, утверждения, формулы, которые могут встретиться в тексте, а также введны общепринятые обозначения. В первых трех разделах: «Теория множеств», «Метрические пространства. Открытые н замкнутые множества», «Топологические пространства. Открытые и замкнутые множества» в очень сжатой форме приведены основные сведения из теории множеств и пространств. Далее основные сведения помещены в разделы, имеющие те же названия, что п разделы текста. Мы полагаем, что предлагаемый материал будет способствовать более четкому пониманию условии задач н служить исходным при ознакомлении с длиной главой математики по более подробным руководствам.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ анализ Теория множеств
Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Множества мы будем обозначать большими, а пх элементы — маленькими буквами.
Утверждение «элемепт с принадлежит множеству А» записывается так: а е А Если элемент а не принадлежит мнолсеству А, то пишут п ф. А. Если все элементы множества А содержатся в множестве В (возможно А совпадает с В, т. е. А п В состоят из одних и тех же элемептов: А = В), то пишут А с В, н в этом случае А называется подмножеством В. Подмножество А с: В называется собственным, если А Ф В. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0.
Совокупность (мпожество) элементов х, обладающих свойством Л', обозначается так: {х : Л'}
1. Операции над множествами. Суммой двух множеств А и В называется третье множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В: С = А и В ^С =
— и АЛ, индекс а также принадлежит некоторому множеству. а )
Пересечением множеств А п В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих как А, так и В:
с = лг\в (с = п*а
159
Разностью С множеств А и В называется совокупность тех элементов їм А, которые не принадлежат Н: С = А^^И.
Симметрической разностью двух множеств А п В называется мнол.-естно С = [А и Г) «) = ЛАВ.
Часто прнхолитсн рассматривать различные множества, когда все они являются подмножествами некоторого основного множества 5. В атом случае, если А с: 5. то разность »9\/Ц называется дополнением Л' множества А: Л' = 5Ч Л. Множество 5 называ-етсп единицей.
