Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Шаром 0(а, г) в пространстве Л (замкнутым шаром К(а, г)) с центром в точке а н радиуса г называется совокупность точек х е Л таких, что р(х, о) < г (р(х, а) «С г).
Определение 2. Множество 2 с X называется открытым в И = (X, р), если вместе с каждой своей точкой х оно содержит п некоторый шар 0(т. г).
О п р е д е л е н п е 3. Окрестностью точки х е Л' называется любое открытое множество, содержащее х. Окрестностью некоторого подмножества Л, бы п. может, самого Л', называется любое открытое множество, содержащее данное подмножество. Окрестность точки х будем обозначать через ?.г.
О пределе н п е 4. Пусть У с X, тогда точка х е.\' называется предельной точкой множества У, если каждая окрестность точки .г содержит некоторую, по крайней .мере одну, точку у : х ф Ф !/ге У.
Точка ;/ е У называется изолированной точкой множества У, если существует окрестность точки I/, в ко горой нет точек У, отличных от у.
Определение 5. Точка у е У — подмножеству Л' — называется внутренней, если она содержится в У вместе с пекоторон своей окрестностью. Точки, внутренние длн дополнения V в V. называются внешними по отношению к У. Если точка не является ни внутренней, ни внешней по отношению к У, то она называется граничной для У. Множество граничных точек для 1' обозначается через йУ.
Определенпе Й. Множество в метрическом пространстве называется замкнутым, если его дополнение открыто.
Справедливо следующее утверждение. Сумма любого числа о г. крытых множеств, пересечение любого конечного числа открытыъ множеств есть множество открытое, 0 и X открыты.
Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто, сумма любого конечного числа замкнутых множеств замкнута, 0 I; А* замкнуты. Замкпутое множество содержпт все своп предельные, точки.
Определение 7. Замыкание У множеств У есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих У. Если множество С а Б, то С с I).
Пусть Н = (V, р) — метрпческое пространство, а У — подмножество в X. Метрику р можно рассматривать только на- точках из У с X. Полому У само превращается в метрическое пространство п пара Но = (У, р) называется подпространством пространства /?.|
Определение 8 Пространство И = (А', р) называется связным, если его нельзя представить в виде суммы двух непус-| тых замкнутых (или открытых) непересекающихся подмножеств.
162
Множество У в мет ри.ческом пространстве R связно, если У связно, как подпространство в R: (У, р) cz (X, р).
Определение 9. Последовательность я„ точек метрического пространства называется сходящейся к точке а этого пространства, если любая окрестность точки а содержит все точки нашей последовательности, за исключением конечного их числа. Ео-лч последовательность а„ сходится к а, то пишут а,,—*¦ а при и—*¦ оо илп lima = а.
n-.ee "
Непосредственно из данною опредетенчн следует, что еслп й„ -»- а, то р(яп, а) -*¦ О, п -*¦ оо.
Справедливо утверждение. Точка неЛ принадлежит замыканию А некоторого множества А тогда и только тогда, когда существует последовательность {ап) точек множества А, сходящаяся к а.
Поэтому точка а е. А в том и только то.ч случае, если каждая окрестность 2П точки а пересекается с А.
Покрытием множества А в метрическом пространстве называется любое семейство открытых множеств, сумма которых содержит А.
Определенпе 10. Метрическое пространство R= (X, р) называется компактным, еслп любое его покрытие содержит конечное подпокрытие.
Примером компактного метрическою пространства может служить отрезок |0, 1], рассматриваемый как метрическое пространство с обычным евклидовым расстоянием.
Определение 11. Последовательность {г„} элементов метрического пространства It = (Л*, р) называется фунОаментальной, еслп р(хп, х,„) —>¦ 0, когда п, m—>- оо, п, m — натуральные числа.
Определен и-е 12. Метрическое пространство R = (X, р) называется полным, еслп в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом этого пространства.
Теорема (принцип вложенных шаров). Для того чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к кулю, имела непустое пересечение.
Топологические пространства. Открытые и замкнутые множества
Определенпе 1. На множестве X определена структура топологического пространства, если задана система {2} его подмножеств, обладающая свойствами:
1) само множество X н пустое множество 0 принадлежат {?};
2) сумма любого числа множеств системы {2} ц пересечение любого конечного числа множеств системы {2} принадлежат {?}.
Система {?}. удовлетворяющая условиям 1)—2), называется топологией на множестве X.
Таким образом, пара: множество А' и топологии {?} образуют топологическое пространство; обозначается оно через Т = = (X, 2). Приведем некоторые примеры топологических пространств,
11* 1ПЗ
Пример ы. 1. Рассмотрим произвольное метрическое пространство П = (X, р). Открытые множества удовлетворяют свойствам 1) и 2) определения 1 топологического пространства.
Таким образом, всякое метрическое пространство И = (.V, р) является и цитологическим пространством Т — (X, 2), где {1} — система открытых множеств в /?.
