Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 45

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 65 >> Следующая

531. Обозначим через Іп окружності, радиуса г„ = 10/2ля км (л =1. 2, ...), расположенную в северном полушарии на поверхности земли с центром на земной осн. Длина этой окружности рав-
10
на — км. Ооозначпм через д„ окружность, расположенную на я
поверхности земного шара на 10 км южнее, чем 1п- Тогда очевидно, чю
А ~ <7| 1) 72 11 • • • 11 7«.
где 70 — одноточечное множество — южный полюс. Множество А не замкнуто. Для этого множества претельнымн также являются все точки окружности 1о, отстоящей на 10 км южнее северного полюса, эта окружность не входит в множество А.
533. Да, существуют, если радиусы шаров не стрех1ятся к нулю. Пусть Я = (Л', л), где Л' — множество натуральных чисел, а
1
1 4- —;—, если я ф т, О, если п — т. Пусть
А' 1 + 1«) = [т : р ('"' "X 1 + 17,}: " = 1. 2. ¦ ¦ ¦
Тогда очевпдно, что Л'^я, 1+--^ замкнуты и вложепы друг в друга, а пространство полно, поскольку каждая фундаментальная
р{т, я) =
153
последовательность сходится я пространстве. Сна является, как говорят, почта постоянной.
535. Может. Пусть С [о, Ь] — пространство непрерывных функций на отрезке \», Ь]. Пу< ть /„ (?) = sin 2п?(н— 0. 1. 2. ...). Множество {/я}, очевидно, ограничено: р{/», 0) ^ ( п замкнуто. Расстояние между любыми двумя элементами этого множества р(/п. /п.) 5г 1 при и < т. Действительно, /,,(.г) = sin 2"г равна 1 п])И л- = л/2" + |, а функция — sin 2'" г равна 0 при том же
значении л, m > я. Поэтому
PC»- /m)=0,S"P[l^ H-/mW|>
>|/л(л/2»+,)-/п,(^"+1)1 = 1.
Следовательно, все предельные точки рассматриваемого множества содержат! я в к?м, а из покрытии этого множества, например, шарами
0(/я, 1/4) = {/: п(/„, /) < 1/4} (я = 0, 1, 2, ...)
нельзя выделить конечное подпокрытие. 537. Напишем тождество
{Ml+8), 1 + 8) - (A(f-g), 1-g) +
+ И 4 (/ + lg), f + IS) ~ l(A (/ - Ig), f - ig)
ЧА1, g).
Поменяв местами / и g и перейдя к комплексному сопряжению, получим новое тождество
(/ + *, «4 (/ + *))-(/-*, Л(1- g)) +
+ i(l + ig, AU + ig))~i(l-lg, AU-IB))
4(/, Ag).
Если Л положительный, то (/, А/) = (Л/, /) = (Л/, /). Таким образом, в тождества* левые части совпадают, тогда совпадают и правые част, т. е. (.4/, g) — (/, Ag), А = А*.
539. Существует. Пусть в качестве // выбрано пространство /г, а оператор А для любого вектора (?1, ?2, |3,...) пз Я определен так:
А (*11 Ь2 ^31 ¦ • ¦) = Ъ31 ~3~ ?31 ¦ ' • |"
Тогда РА= |ч: ^,н2|п,п|2< оо|, Яд содержит все финитные по-,
е, V и Я
/ 1 1 \
^1, ~2~, —, . -. J <?Яд, т. е. Я а не замкну цпп двойственно
п -И и «а
следовательностн (т. е. такие, у которых, начиная г некоторого места, стоят только нули) н Я л = //. Но последовательное гь
туто.
541. Применяя принцип двойственности теории множеств запишем
154
где штрих означает дополнение. Поэтому
Далее,
*(Д','Ь'-"(.у4
Л й-<)<;2 (| - I' (Л» — С,)-
\1=1 /1=1 1=1 1=1
По условию ^ М (<4,) > ч— 1, но тему я—V ц ^ < 1-Следо-
1=1 й»1
вательно,
543. Пусть е > 0. Существует счетное множество пнгервалов
7Л таких, что и ^к => ? и V ц < ^1--1. р (Я). Предположим, чю для каждого к
»(^п *)<(.--5-е)и-м-
Тогда
р (й) = 2 М (?¦ П /Й) < (1 - -1 Л V ц (у^ < р
Значит, найдется интервал }к такой, что р (/л П — е| X
и(^л)Т1усп, 7= (х0, Х|) — интервал с рациональными концами 1акой чю ]¦=> А, и (У) < ^1 — -1_ е| 1 р (Уд Тогда р (/ П ?)
П ?)>^1--1-е^1 > (1-е)р(У).Пус1ьхи = -1
/г 4 +1\
и У. = |—, —-—I. Ясно, что найдется помер I, а ^ I ^ 6 — 1,
такой, что и (/г П Ё) > [1 - е) ц(Уг)- То1Да множество Я всех же [0, 1) таких, что х1п&11 П ?\ имеет меру, большую или равную 1-е. Так кап Не С, то и (С) ^ р (11) 1 — и. Следовательно, И(С) === 1.
545. По теореме о гомоморфизме С/К = Я, где К — нормальный деятель группы С. Если А' = С, то 67А а= {1}. Пусть К ?= С. Покажем, что /( — конечная группа; тогда С/К бесконечна. Если степень первообразных корней в А" ограничена, скажем, числом р", то \К\ ^ р» < со. Иначе О =» К, так как любой корень степени р* из единицы является степенью первообразного корня степени рг
ирц Г > 4'.
b
1 п
155
547. Из рпс. 13 видно, чго (а — 1)Ь не превосходит суммы площадей 5і и $2, т. е.
ь о—1
(а - 1) Ь < ( їй I dt + С «'Л = Ыи Ь - 6 + 1 + «а_1 - 1 = 1 о
= 6 1п Ь — Ъ + е0-1
откуда и вытекает об ^ Ь 1п Ь 4- е"~'.
549. Пусть /фіпх) = сое .г на [и, р1; топа, оиозначпв кін х — у, будем иметь на некотором отрезке [у. 6]. к < 6: р3(у) —
= 1— у2- пли ч(у) — /'э(у) — 1 + + ;/2 = О. 'Гак как </(;/) имеет бесконечно много корней, то '/(//) = 0 и рЦу) = 1 — у2, т. е. иеКР(") = 1. РІ1І) = "У + 6. рЧи) = «V + 2аЬ;, + 62 = I — у2 и а2 = — 1 — противоречие.
551. Если /(г) = (.г-а)гХ X #(¦<-), то (х — а) дел и і /'(.<) [[ /(.с), гак что, применяя алгоритм Евклида, находим общий делитель р(г) многочленов /(.і) п /'(.с), имеющий рациональные коэффициенты, откуда ((х) = р(х)д(х) для многочленов р и о е/ рациональными коэффициентами. ІІ|мв\ю чисчь .ното равенства мо;кно иред-- і О) Щх)
сіавнгь в виде -^-, где .V — натуральное, А(х), В(х)
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed