Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть X = № — совокупность действительных чисел. Отнесем к системе {2} всевозможные объединения интервалов и пустое множество 0. Тогда Т= (X, 1)—топологическое пространство, Я' е {2}.
Определение 2. Множество ГцСХ называется открытым в Т, если 2, с {2}.
Определение 3. Окрестностью точки ге.\' называется любое открытое множество, содержащее х. Окрестностью некоторого подмножества X (быть может, самого X) называется любое открытое множество, содержащее данное подмножество (или X).
Определение 4. Мно/кество в топологическом пространстве называется замкнутым, если его дополнение открыто.
Подчеркнем, что в топологических пространствах справедливы все факты из теории метрических пространств, которые используют понятии открытого и замкнутого множества. Полому на их формулировках мы останавливаться не будем.
Гркфикн
В разделе «Теория множеств» было дано определение отображения g (или функции) одного произвольного множества в другое. В случае, когда область определения отображении g и область изменения являются некоторыми подмножествами числовой осп, мы имеем дело с действительной функцией действительного переменного. Такие функции могут задаваться посредством формул, т. е. аналитически, посредством таблиц, графически (соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика, снимаемого, например, на осциллографе) и т. п.
Простейшими элеменюрными функциями называют следующие функции:
у = х", у = ах, у = 1оЯаХ, ,y = sinx,
у = cos х, у = tg х, у = ctgx, у = arcsin .т,
у = arccos х, у = arctgx, у = arcctgx.
Из элементарного курса читатель имеет представление об этих функциях и их графиках. Элементарными функциями называют функции, получаемые посредством конечного числа арифметических операций над простейшими элементарными функциями, а также получаемые путем суперпозиции этих функций. Например,
функция log2|cos 6r|, eaics'"'"х , принадлежат этому классу.
Отметим следующее свойство элементарных функций — они непрерывны в каждой точке области заг/иния.
Действительная функция /(.г) переменного х строго .монотонна на отрезке [а, Ь], если она определена на нем н для любых двух точек ,Т|, х2 е [а, Ь] либо из Х| <" х2 следует, что /(Xi) < < /(гг) (возрастающая функция), либо же из х\ < х2 следует, что /(xi) > /(х2) (убывающая функция). Если неравенства, сравнили
бающие значения функции нестрогие, то и монотонность называется нестрогой. Аналогичные определения даются и для последовательностей.
Монотонно возрастающая функция на отрезке достигает, очевидно, своего наибольшего значения (абсолютного максимума или граничного максимума) при х = b, а < Ь. Аналогично монотонно убывающая функция достигает своего абсолютного минимума при х = Ъ.
Помимо элементарных способов построения графиков функций, часто удобно применять аппарат дифференциального исчисления над функциями (см. раздел «Дифференцирование»). Отметим некоторые основные факты:
1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция 1(х) не убывала (не возрастала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы производная f (х) была неотрицательна (неположительна) всюду на (а, о).
2. Для того чтобы дифференцируемая функция j(x) возрастала (убывала) на интервале (о, 6), достаточно, чтобы производная 1'(х) была положительна (отрицательна) всюду на (а, Ь).
3. Если функция /(х) дифференцируема в точке с и имеет в этой точке зкетрсмум (локальный максимум или локальный минимум), то f (с) = 0. (Функция /(х) имеет в точке с локальный максимум (минимум), если существует 6 > 0 такое, что /(х) — 1(c) < < 0(/(') —1(c) > 0) при всех \х — с\ < б).
4. Пусть функция ](х) имеет на интервале (а, Ь) конечную вторую производную и эта производная неположительна (неотрицательна) всюду на (а, Ь), jor,ia график функции у = f(x) имеет на интервале (я, 6) выпуклость, направленную вниз (вверх), т. е. трафик функции у = f(x) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной. (Касательной к графику функции у = /(с) в точке М называется предельное положение секущей MP при стремлении точки Р к точке .V/ по графику).
5. Пусть я — некоторое целое положительное число, и пусть функция /(.т) имеет в некоторой окрестности точки г производную (я 4- 1)-го порядка. Пусть выполнены следующие соотношения:
/(2)(С) = /<3>(с) = ... = /<")(с) = 0, /<"+'>(г) ф 0.
Тогда, если (я 40 — нечетное число, то график функции у = /(х) имеет перегиб в точке М (с, f(c)). Если же (я 4 1) — четное число и, кроме того, /'(с) =0, то функция у = 1(х) имеет локальный экстремум в точке х = с, точнее, максимум, если /'п+|,(с)<0, и минимум, если /<"+1)(с) > 0.
(Точка М(с, f(c)) графика функции у = j(x) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки с на оси абсцисс, в пределах которой график функции у — ](х) слева п справа от с имеет разные направления выпуклости.)
Для качественного исследования трафика функции у = 1(х) целесообразно провести следующие исследования:
1) Определить область задания функции.
2) Выяснить вопрос, о существовании асимптот (вертикальных и наклонных.) Прямая х •= п является вертикальной асимптотой графика функции у = /(х), если хотя бы одно из предельных значений lim / (с) или lim / (х) равно 4 °° или — оо. Прямая у =
