Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Непосредственным очевидным следствием введенных определении янляегся принцип дііоіістненностії в теории множеств:
1) дополнение суммы равно пересечению дополнений;
2) дополнение пересечений равно сумме дополнений.
2. Отображения. Пусть А и В — два множества. Допустим, что каждому елементу а множества А поставлен в соответствие один определенный элемент Ъ = /7(я), содержащийся в множестве В. В эгом случае определено отображение (функция) д множества А в множество В.
Элемент Ъ называется образом элемента а при отображении С элемент а — прообразом пли одним из прообразов элемента Ь.
Если каждый элемент Ь множества В имеет хотя бы один прообраз а при отображении р, то отображение д есть отображение А на В, і: А —>¦ В.
Пусть М с А. топа д(М) обозначает множество таких элементов из В, которые являются образами элементов а є М.
Множество #(-1/) называется образим множества М при отображении Если Л'сй, то через g~i(N) обозначается множество таких элементов из А, которые переходят в А' при отображении р. Множество ?'~'(А') называется полным прообразом множества -V при отображении
Отображение g иногда удобно назвать функцией с областью определения — множеством А и областью значений, лежащей в В. В некоторых разделах математики, в зависимости от природы множеств А и В и свойств отображение д называется оператором, функционалом и т. д.
Отображение g множества А на множество В называется езя-имно однозначным, если каждый элемент множества В имеет и при атом лишь один прообраз при отображении g (такие отображении называют еще биективными).
Очевидно, что если есть взаимно однозначное отображение множества А на множество В пли взаимно однозначное соответствие
МеЖДу Элементами ЭТИХ ДВУХ ЫНОЖеСТН, ТО МОЖНО ОПреДС'ЛІПЬ 010-
бражение д~1, обратное по ошошеиию т. е. из уравнения Ь = = ё(л), зпая элемент Ь, можно однозначно определить а и, тем самым, а — g~i(b).
Любое отображение ^(яі, о2____) такое, что /¦¦(/,'(я і),*г(я2), • • ¦) =.
= /г(я1, я2, ...) для всех яі, и2, ... из А, и любое соотношение Р["і, а2, ...) = Т такое, что Р(д(а<), д(а2), ...) = Т для всех я,, о2, ... из А называются инвариантами но отношению к отображению Ъ = #(а).
3. Прямое произведение множеств. Пусть 0= {1, 2, ..., п] п А\, А?, Ап — подмножества некоторого множества А. Прямым
п
произведением П Ак множеств Л* является совокупность всех
А= 1
160
функции /, отображающих О в А так, что /(Я) ^А,,(к = 1. 2, ...
п). Очевидно, что II Аь можно рассматривать как ксевозмож-«=1
ные наборы (я„ я2. ..., а„), ак є А,„
'и Эквивалентные множеств*. Множества А и В называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Множество является конечным, если оно эквивалентно набору натуральных чисел {I, 2, и < °о}.
Множество называется счетным, если оно эквивалентно натуральному ряду чисел {I. 2.....п. ...}.
Множество называется множеством, имеющим мощность континуума, если оно эквивалентно множеству точек отрезка [о, 1]. Мощность множестна А обозначается| А |.
Метрические пространства. Открытые II замкнутые множества
В математическом анализе важнейшую роль играет понятие предела. В основе различных определении предела лежит то или иное понятие расстояния между объектами. Шитому естественно попытаться ввести длн элементов абстрактной природы — злемен-10Н произвольного множества определения расстояния, а затем ввести понятие предельного перехода.
Определение 1. На множестве \* определена структура метрического пространства, если задана ф\нкция пары аргументов
р: А X Л" —>* В\ R' — числовая ось, обладающая свойствами:
Я !>(-ti .'/) — 0 тогда н только тогда, когда х = у;
2) р(л, у) = л(//, х) (свойство симметрии);
;!) р(.г. у) Cj р(.г, г) -f- P(z- У) (неравенство треугольника).
Функция р(х, у), х, ;/ G А называется метрикой или функцией расстояния, число р(.т, у) называется расстоянием между точками х и у.
Таким образом, пара: миожегтво X п функция р образуют метрическое пространство; обозначается оно через
Й= (V, Р).
Если в 3) положить х — у, то. учитывая 1) к 2), получается, что 0^ р(//. г), т. е. функция расстояния неотрицательная функция своих аргументов.
Приведем некоторые примеры метрических пространств.
Примеры. 1. Арифметическое п мерное пространство X, точки которого — векторы (упорядоченные наборы п чисел, х — — (x\i х-2,..., х„) есть, очевидно, метрическое пространство, если по-
11/2
ложпть р (х, у)
2 К-*;
i=l
обозначается оно через Я"!
«"= (X, р).
2. Пусть Y — множество непрерывных функции, заданпых на отрезке [я, 6]. Введем метрику, полагая р(г, у) = шах | с (t) —y(l)\.
Получившееся пространство есть метрическое пространство. Оно обозначается через С[а, Ь] = (У, р).
il в. А Садовничий, а. с. Подколзин
Точно так ;кр множество 2, п раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [л, Ь\, п. ^ 1, становится метрическим пространством, если ввести метрику по правилу:
р(.т, !/)= шах шах | х0) (г) — ун) (<) |,
Это пространство обозначается обычно так:
С" [а, Ь] = (2, р), й Зг 1.
