Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Многочленам относительно х\. х2, ..., хп называется гумма конечного числа членов вида ах^'х1^' ... .т*п, /гі — натуральные числа. Наибольшее значение суммы /г, + к2 + ... + к„, встречающееся в каком-либо ил членов, называется степенью многочлена. Мншочлен называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же степень Многочлен называетсн симметрическим, если его значения не меняются при какой угодно перестановке ль х2, х„. Элементарными симметрическими функциями называются функции вида ї, = ї, + х? + .. • + .т„, ї, = ххх7 + х,х3 + ... + г„-,х,„ ж,, = з-|.г2 ... хп. Каждый симметрический многочлен может быть единственным образом записан как многочлен относительно
Последовательности п пределы
Опре деление I. Если каждому числу и натурального ряда чисел I. п, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число а,,, то множество занумерованных действительных чисел 2'і, хі, .т„, ... называется числовой последовательностью.
Числа х„ называются членами или элементами последовательности.
Последовательность {х,,} называется ограниченной, если существуют такие числа т и .1/, что любой элемент х„ этой последовательности удовлетворяет неравенствам: т ^ хп ^ Л/.
Последовательно» ть {х „} называется бесконечно больший (бесконечно малой), если дли любого положительного числа А (числа в) можно указать номер А' такой, что при п А' все элементы .т„ .ітоіі последовательности удовлетворяют неравенству |.г„| > >А(\х„ \ <е).
Определение 2. Последовательность {.гп} называется сто-дяшейея, если существует такое число х, что для любого положительного числа е можно указать номер .V такой, что при п ^ Л' все элементы хп этой последовательности удовлетворяют неравенству \хп —и \ < е. При этом число х называют пределом последовательности п пишут 1 іт т = х, или хЛ-*х при п~>оо. Другими слоті -*оо
вами, последовательность {т,,} называется сходящейся к точке х, если любая окрестность точки х (любой интервал, содержащий х) содержит все точки нашей последовательности, за исключением конечного их числа (см. определение 9 раздела «Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества»),
Сходящаяся последовательность ггранпчека и имеет только один предел.
Последовательность {.с,,} называется неубывающей (невозрас-тающей), если дли всех номеров п справедливо неравенство
Хп ^ Х„ + | (Хп ^ Х„ + [),
Такие последовательности называют монотонными. Справедлив следующий факт.
Неубывающая (невозрастающая) последовательность {х„}, ol-раничепная сверху (снизу), сходится.
Последовательность х„ = (1 + '/и)" возрастает и ограничена сверху, поэтому эта последовательность сходится, ее предел называют числом е = lim (1 + '/«)".
У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.
Для того чтбы последовательность была сходящейся, необходимо н достаточно, чтобы она была фундаментальна (см. определение 11 раздела «Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества»).
Поясним теперь понише предельного значения функции.
Определение о. Число Ъ называется предельными значением функции у = 1(х) в точке х = а (пределом функции прп х—<- я), если дли любой сходящейся к о последовательности х\, х2, ¦.., х„. ... значении аргумента х, элементы хп которой отличны от а(хп Ф а), соответствующая последовательность /(л,), /(-г*),... ...,f(x„). ... значений функции сходится к Ъ.
Функция может иметь только одно предельное значепие.
Приведем величины предельных значений некоторых функций:
sin х І 1 \« , ./„
lim-= 1, lim 14-- =е, lim(l+.т)1/А = е.
»-U * к—°Л * / х-0
Число Ь называют правым (левым) предельным значением функции 1(х) в точке х = я, если для любой сходящейся к с последовательности х\, ,т2,..., .т„,... значений аргумента х, элементы х„ которой больше (меньше) я, соотвеїствующая последовательность /(.ті), 1(х2), ..., j(x„), ... значений функции сходится кб: lim 1(x)=b( lim l(x) = b\. *•„-*«+ \ *„-"- )
Число Ь называют предельным значением функции f(x) при стрем тении аргумента х к положительной (отрицательной) бесконечности, если для любой бесконечно большой последовательности значении аргумента, элементы которой, начиная с некоюрого номера, положи тельные (отрицательные), соответствующая последовательность значений функции сходится к 6: lim j (х) — b
I lim /(*) = 6\.
Определение 4. Последовательность функций s0(.r), st(x), f2{x). ... равномерно сходится на множестве .4 значений х к функции s(x):
t (х) = lim sn (х), х є Л,
П-»оо
есчч для каждого числа е > 0 существует такой номер Л', что при А' п при всех іе А выполняется неравепсіво |s„ (х)— s(x) | <е.
160
168
Еслп даны две функции fit), git), то Ш'шут /(.г) =» 0(g(r)) п говорят, чю /(л-) есть не низшего порядка малости, чем g(x) при х—* а, еслп существует окрестность точки с, в которой при хф а
отношение ^\Г\ ограничено. Функция f(x) эквивалентна g{x), при & (х)
х—»¦ я, если Hm -LQ=l.Далее, функция fix) есть более высокого х-*ч g ix)
порядка малости при х—*¦ а, чем g(x) (f(x) = o(g(x)), если
