Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
lim f [х} = 0.Аналогично определяются бесконечно малые (бес-х-*л g(x)
конечно большие) любого порядка но сравнению с функциями х. х2, .... ех н т. д. Указанные соотношения между функциями набиваются асимптотическими.
Непрерывность
Определение 1. Отображение g одною метрического про странегва Я = (X. р) на другое Я0 = (У, ро) называется непрерывным в точке х, если для каждой окрестности 5доп точки jr(.r) найдется такая окрестность точки ,г, чю K(-.v)С ~#{х) Если g непрерывно в каждой точке, то такое отображение называется непрерывным па R-
Отбра.кенье g непрерывно тогда и точы.о тогда, когда полный нрообра.1 любого открытого множества открыт.
Определение непрерывности действительной функции число вого аргумента можно да1ь в следующей эквивалентной определению I форме.
Определение Г. Функции /(<) называется непрерывной в точке х. если предельное значение .пой функции в точке t существует и равно значению функции в точке а1, г. е. если lim f (у) =
v-*x
=/(*>.
Рассмотрим возможные типы ючек разрыва функции.
1. Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции у — /(.i), если предельное значение функции в этой точке существует, но в точке а функция или не определена или ее значение не равно предельному значению.
2. Разрыв 1-го рода. Точка а называется точкой разрыва 1-го рода, если в згой точке функция /(.г) имеет конечные, но ио равные друг Другу правое и левое предельные значения.
3. Разрыв 2-го рода. Точка а называется точкой разрыва 2-го рода, если я этой точке функция f(.r) не имеет по крайней мере одного из предельных значений или если хотн бы одно из односторонних предельных значений бесконечно.
Функция у = f{x) называется кусочно-непрерывной на \а, Ь\, если она непрерывна во всех внутренних точках [а, Ь], за исключением, быть мо,ке г, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пре.дельные значении в точках а н Ь.
Функция f(.r) называется равномерно непрерывной на множестве А с IV, если дли всякого е>0 существует такое б > О, чю для всех xi u х2, принадлежащих А, \f(x\) — f(x2) | < е, еслп \xi — z2| < б.
Функция, непрерывная на отрезке [<i, 6], равномерио непрерывна.
Дифференцирование
Определение 1. Пусть у = I(х) — действительная функция действительного переменного, определенная в некоторой окрестности точки .т. Первой производной функции /(х) по г в точке х называют предрл
,.т /(.г + А.г)-/(.г)5Е Ит .А» = =
л.л--.(| Дх Лл-->0 А г й.с
Очевидно, что производная есть мера скорости изменения функции )(х) по сравнению с х. Производная / (з) есть угловой коэффициент кагателкпон к графику функции у = 1(х) в точке х.
Функция называется дифференцируемой при тех значениях х (на множестве значений х), при которых существует производная Г(х) (/еС). Производная о г первой производной называется второй производной и т. д. Функция бесконечно дифференцируема, если она имеет производные любых порядков (/еГ"). Фхнкцнн непрерывно Пиф)ференци[)уеми. если ее производная непрерывна.
Если // = /(.г,.';г2.....х„) — действительная функция переменных т|. х\.....хп. определенная в некоторой окрестности точки
(.,,, з-2.....х„) просгранегвн Я", то частной производной первого
порядка функции /(г,, х2----, х„) по .г, в точке (.п, т2,...,х„) называется предел
.. г,.....«¦„)- У (.г,, х......-т,,)
Ьт--<-г-= г|,, =
Аналогично вышесказанному определяются частные производные высших порядков:
о2;/ д ду 62у__д_ ду
н т. д.
Ь2у д2у . . ба1/
Отметим, что ——- = —7-7, »ч«=А, еслп производная
/Л я I ' «
существует в некоторой окрестности точки н непрерывна в точке
'2У
(хь х2,...,хп), а производная существует в некоторои точке.
Градиентом функции /(хь .... хп) называется величина —1,4-...4- — I =814111/, где»!—единичные векторы прямоуголь-
нон системы координат.
Определим теперь дифференциал функции /(г), определенной в некоторой окрестности точки х. Если обозначить через йт — приращение аргумента х (его дифференциал) п, если справедливо представление
Ду = ](г + ах) — /(.т) = I я\г + о(й.т), I не зависит от 6.x, то первым дифференциалом ??/ называется
171
главная лннгііная часть прпращення функции, а именно df = L dx. Функция /(.г) имеет в точке первый дифференциал тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке нервую производную, ее дифференциал равен
df=f'(x)d*=Kdx = ^Ldx, у = / (х). лс ах
Привочпмые ниже теоремы о среднем пграют важную роль в анализе.
Теорема (Лагранжа о конечном приращении). Пусть функция f(x) непрерывна на [а, Ь] и- дифференцируема на (я, о), тог-оа в интервале (а. Ъ) существует такие число с, что
1(h) -1(a) = /'(г) (/,-„);
число с можно записать в виде с = а + 6(/> — я), 0 < 6 < 1.
Если /(я) = f(b), то эта теорема называется теоремой Ролля.
Теорема (Кошті). Пусть функции f(x), g(x) непрерывны на [а, Ъ], g(a) Ф g(b), f'(x). g'(x) существуют на (а, Ь) и одновременно не обращаются в нуль. Тогда существует такое число с є є (а, 6), что
f(b)-f(n) /'(/¦) Щ1')-8(") " И'(') '
Сформулированная выше теорема Копт непосредственно приводит к следующим правилам нахождения пределов (раскрытие неопределенностей) — правилам Лопигаля.
