Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
183
строк матрицы А, число же столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В, причем элемент матрицы С, стоящей в 1-й строке п к-м столбце, равеп сумме произведений соответственных элементов i-п строки матрицы А и k-vo столбца матрицы В, т. е.
71
ih ?J и ih
i=i
Положим
аЛ + ?? = oaa.j + ?b,j[|,
где А п В — матрицы размера г X «•
Всякое расположение (о, 12, tn) пз п чпссл 1, 2, л в некотором определенном порядке называется перестановкой [h, '2, • ¦ •, in) из п чисел. Перемена местами в перестановке какпх-либо двух символов называется транспозицией. Говорят, что в данной перестановке числа к а I составляют инверсию, если А > I, но к стоит в этой перестановке раньше I. Перестановка называется четной, если число всех ппвсреий в ней четно, п нечетной в противоположном случае. J
Всякая транспозиция меняет чегиоегь перестановки.
Всякая бпекцпя множества первых п натуральных чисел па себя называется подстановкой а п-й степени:
о: {1,2.....и}-* {1,2,..., и}.
Всякая такая подстановка о может быть записана в следую-, щем видо
ai,» ai2» ain
где ai = o(i) —число, которое при подстановке переходит в число i(i =. 1, 2, и).
Подстановка о называется четной, если общее число инверсии в двух строках ее записи четно, и нечетной в противоположном случае (это не завпепт от выбора записи подстановки).
Определим символ |о| по правилу
it
если а — четная, еслп о—нечетная.
Опредслсппо 2. Определителем квадратной матрицы А, А = IojjIIkii называется число del .1 = det Ц«fyfl =
"ii ... «хп
Ягц ... ami
где суммирование происходит по всем подстановкам о.
Квадратная матрица, определитель которой пе равеп нулю, называется невырожденной (неособенной).
Пусть ||aij|li<i. ,<„—квадратпая матрица, р — целое число 1 ^ р < п, ц, if, ji, jp — два мпожества индексов, прпчем 1 sg ц < i2 < ... < iP ^ n, 1 < /, < /2 < ... < jP п. Минором B(it, ip; /1, ..., jp) р-то порядка называется определитель, получающийся из l|ojj||, если выбрать только элементы ij, ..., 1г-ц
тго(п)«
строк и 7i..., ?,.-ro столбцов; алгебраическим дополнением C(ii, i/>; /1, ...,jp) этого минора называется произведение ^_ ^i.-t- - ' n+.-+ip па определитель (и — р)-го порядка, получающийся вычеркиванием пз ||fl,j|| i|, ..., ijj-й строи u ji, jp-то столбцов. Справедливо утверждение.
Теорема Лапласа. Для определителя матрицы А верна формула
det А
причем суммирование распроа[ аняется на все сочетания р индексов 1 < /]<...</ Р < и.
Определение 3. Нанвысшпй порядок отлпчных от нул миноров называется рангом матрицы А.
Определение 4. Следом матрицы А = Па^-Ц (обозначается Тг Л) называется сумма ее диагональных элементов:
ТгЛ-5 а
^ II' 1=1
Матрица Ат, транспонированная по отношению к А — Иа^П, размера гХ«. есть матрица ЦялН размера п X г. Матрица размера «X" называется симметрической, еслп Лт = Л, т. е. = а^; эрмитовой пли самосопряженной, еслп а,-} = а;,-; ортогональной, если Лг — Л-1. Матрица Ца^Ц обозначается А* (черта над «о означает комплексное сопряжение, т. е. ац= а— ф, если аи=а+ф).
Определение 5. Собственные значения матрицы это те числа Я, при которых определитель матрицы А — ХЕ равен нулю. Совокупность собственных чпеел матрицы называется спектром матрицы.
Матрицу Л называют унитарной, еелн Л* = Л_|; нормальной, если Л*Л = ЛЛ*.
Пусть Л — квадратпая матрица, и — унитарная и А = и'^АИ. Тогда можно подобрать унитарную матрицу V, чтобы Л была диагональной в том и только том случае, когда Л — нормальная матрица. Еслп Л—действительная матрица (а,3- — действительны), то и — ортогональная и действительная матрица.
Дчя матриц размера п X т можно определить их норму, а именно:
1 А | = sup
n т
V. У, О-Л-Чь —J .—J lftsl Hi
где
i=l fc=l
Составим формальный ряд с квадратной матрицей А:
183
Допустим, что числовой ряд 2 I \ | II IP сходится. Тогда го-
к=0
ворят, что определена функция F от матрицы А (например, sin А, exp A, ln А ц т. п.).
Системы уравнений, группы, поля, линейные пространства
Решением некоторого множества (системы) уравнений
Л(*,, *2, ...).= О 0=1,2,-...)
с неизвестными я1, х2, ... называется мпожество значений неизвестных х\, х2, ..., удовлетворяющих одновременно каждому из уравнении системы. Система решена полностью, если найдены всо такие решения.
Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными
з'ь х2, . . ., хп1
71
2 = Ьг (<=1. 2, п).
1=1
Еслп определитель системы
Ь = Йе1[|а1,||1е,<]<„ не равен нулю, то система имеет единственное решение
х, =
где Dj — определитель, получающийся пз О заменой элементов чц, "21, • ¦ ч о„3- /-го столбца соответствующими свободными членами Ь|, Ь2, • •.. Ьи-
Система те линейных уравнений с га неизвестными х|, жг, ...
(«==1.2.....m),
имеет решение в том п только том случае, еслп матрица системы и расширенная матрица системы
Hi
In
*1
ml
ml
а Ъ mn m '
имеют один п тот же ранг. В противном случае система несовместна.
Однородная система и линейных уравнений с и неизвестными
71
V а1]Х] = О (I = 1, 2.....п)
